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设 $0 < p, q < +\infty$ ．证明：

$$
\mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\mathscr{L}_{p+q}^{\not q q}(E),
$$


其中 $\mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\left\{f \cdot g \mid f \in \mathscr{L}^p(E), g \in \mathscr{L}^q(E)\right\}$ 。
                        
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