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设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的正值 Lebesgue 可测函数．证明：

$$
\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)}\right) \geqslant 1 .
$$
                        
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