单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A_{i j}$ 是 $n$ 阶行列式 $D$ 的元素 $a_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 的代数余子式, 当 $i \neq j$ 时, 下列各式错误的是
$\text{A.}$ $D=a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}$
$\text{B.}$ $D=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}$
$\text{C.}$ $D=a_{1 j} A_1+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}$
$\text{D.}$ $0=a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}$
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 为方阵, $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ $A, B$ 为同阶方阵, 则 $(A B)^2=A^2 B^2$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 为逆矩阵, 则 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同阶方阵, 则 $\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & \lambda+1\end{array}\right)$ 的秩为 2 , 则 $\lambda=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设含有 $m$ 个方程的 $n$ 元非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 则
$\text{A.}$ $r=n$ 时, $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有惟一解
$\text{B.}$ $m=n$ 时, $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有惟一解
$\text{C.}$ $r < n$ 时, $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解
$\text{D.}$ $r=m$ 时, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解
$\alpha_1, \alpha_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的分别对应于特征值 $\lambda_1, \lambda_2\left(\lambda_1 \neq \lambda_2\right)$ 的特征向量, 则
$\text{A.}$ 对于任意 $k_1 \neq 0, k_2 \neq 0, k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量;
$\text{B.}$ 对于任意 $k_1 \neq 0, k_2 \neq 0, k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2$ 不可能是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量;
$\text{C.}$ 存在常数 $k_1 \neq 0, k_2 \neq 0, k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量;
$\text{D.}$ 存在惟一一组常数 $k_1 \neq 0, k_2 \neq 0, k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$
\text { 设 }\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=1 \text {, 则 }\left|\begin{array}{ccc}
4 a_{11} & 4 a_{21} & 4 a_{31} \\
2 a_{11}-3 a_{12} & 2 a_{21}-3 a_{22} & 2 a_{31}-3 a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}\right|
$
$$\text {设 } \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right), f(x)=x^2+x-2 \text { 及, 则 } f\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)=
$$
若 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \ldots, \boldsymbol{\eta}_s$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一组解向量, 且 $k_1 \boldsymbol{\eta}_1+k_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\eta}_s$ 为导出齐次线性方程组 $A x=0$ 的解向量, 则 $k_1+k_2+\ldots+k_s=$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是二阶矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}| < 0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 可对角化的 ________ 条件(充分、必要、充要);
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 满足 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=0,|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}|=0$, 且齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}+4 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解, 则 $\left|\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}\right|= $.
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
$$
D_1=\left|\begin{array}{rrrr}
a_1 & -a_1 & 0 & 0 \\
0 & a_2 & -a_2 & 0 \\
0 & 0 & a_3 & -a_3 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right|
$$
计算 $
D_4=\left|\begin{array}{rrrr}
2 & -5 & 1 & 2 \\
-3 & 7 & -1 & 4 \\
5 & -9 & 2 & 7 \\
4 & -6 & 1 & 2
\end{array}\right|
$
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为三阶矩阵, $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$, 且满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
给定方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+x_2+x_3+x_4=1, \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+x_4=0, \\ x_2+2 x_3+2 x_4=3, \\ 5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4=a_n\end{array}\right.$ 问当 $a$ 为何值时, 方程组有解? 在有无穷多解时, 求出它的通解, 并给出其导出组的一个基础解系.
$\alpha_1=\left(\begin{array}{r}2 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 8\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{r}-1 \\ a \\ 3\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示, 求 $a$ 的值.
已知向量组: $\alpha_1=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{r}3 \\ 0 \\ 7 \\ 14\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{r}1 \\ -2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \alpha_5=\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ 5 \\ 10\end{array}\right)$, 求该向量组的秩和一个最大无关组, 并把其余向量用最大无关组线性表示.
求 $\boldsymbol{A}^{20}$, 其中矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \alpha_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系, 试证:
$\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 也是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系.