单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
$x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{\arctan x}{x}$ 的
$\text{A.}$ 连续点;
$\text{B.}$ 可去间断点;
$\text{C.}$ 跳跃间断点;
$\text{D.}$ 无穷间断
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内具有连续二阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{e^x-1}=1$,则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 ( ).
$\text{A.}$ 有极值;
$\text{B.}$ 无极值;
$\text{C.}$ 无拐点;
$\text{D.}$ 有拐点.
设函数 $f(x)=x^4+\left|x^3\right|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n=(\quad)$.
$\text{A.}$ 1 ;
$\text{B.}$ 2 ;
$\text{C.}$ 3 ;
$\text{D.}$ 4.
设函数 $f^{\prime}(x)$ 连续, 则 $\int f^{\prime}(2 x) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $f(2 x)+c$;
$\text{B.}$ $2 f(x)+c$;
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} f(2 x)+c$;
$\text{D.}$ $x f(2 x)+c$.
设反常积分 $\int_1^{+\infty} x^{-k} d x$ 收敛，则
$\text{A.}$ $k>1$;
$\text{B.}$ $k \geqslant 1$;
$\text{C.}$ $k \leqslant 1$;
$\text{D.}$ $k < 1$.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}$.
$\text{A.}$ 1;
$\text{B.}$ $\frac{2}{\pi}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 0
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x}=$
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $y=f\left(\sin ^2 x\right)+f\left(\cos ^2 x\right)$, 则 $\frac{d y}{d x}=$
$\int_0^{n \pi}|\sin x| d x=$
设 $f(x)=x \sin x$, 则 $f^{(6)}(0)=$
曲线 $y=\ln \left(1-x^2\right) \quad 0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 的弧长为
当 $x \rightarrow 0$ 时求 $\frac{d}{d x} \int_{x^2}^{e^x} \ln t d t$ 值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^{+\infty} x^{2010} \cdot e^{-x} d x$.
计算 求正常数 $a, b$, 使得 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_0^x \frac{ t ^2 d t}{\sqrt{a+t^2}}=3$
试确定常数 C 之值, 使得曲线 $y=x+C x^2$ 与直线 $x=1, x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小。
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, $\int_a^b f(x) d x=\int_a^b x f(x) d x=0$,求证: $\exists \xi, \eta \in(a, b),(\xi \neq \eta)$, 使得 $f(\xi)=0, f(\eta)=0$.
设 $f(x)=[\varphi(x)-\varphi(0)] \ln (1+2 x), g(x)=\int_0^x \frac{t}{1+t^3} d t$, 其中 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $\varphi^{\prime}(0)=1$, 证明: $f(x)$ 与 $g(x)$ 为 $x \rightarrow 0$ 时的同阶无穷小。