单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}\right]^{x}=(\quad)$
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $e$
$\text{C.}$ ${e}^{a-b}$
$\text{D.}$ ${e}^{b-a}$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定, 其中 $F$ 为可微函数, 且 $F_{2}^{\prime} \neq 0$, 则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ ()
$\text{A.}$ $x$.
$\text{B.}$ $z$.
$\text{C.}$ $-x$.
$\text{D.}$ $-z$.
设 $m, n$ 均是正整数, 则反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性( )
$\text{A.}$ 仅与 $m$ 的取值有关.
$\text{B.}$ 仅与 $n$ 的取值有关.
$\text{C.}$ 与 $m, n$ 的取值都有关.
$\text{D.}$ 与 $m, n$ 的取值都无关.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{n}{(n+i)\left(n^{2}+j^{2}\right)}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1+x)\left(1+y^{2}\right)} \mathrm{d} y$.
$\text{B.}$ $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$.
$\text{C.}$ $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$.
$\text{D.}$ $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)\left(1+y^{2}\right)} \mathrm{d} y$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times m$ 矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 $m$ 阶单位矩阵, 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 则( )
$\text{A.}$ 秩 $r(\boldsymbol{A})=m$, 秩 $r(\boldsymbol{B})=m$.
$\text{B.}$ 秩 $r(\boldsymbol{A})=m$, 秩 $r(\boldsymbol{B})=n$.
$\text{C.}$ 秩 $r(\boldsymbol{A})=n$, 秩 $r(\boldsymbol{B})=m$.
$\text{D.}$ 秩 $r(\boldsymbol{A})=n$, 秩 $r(\boldsymbol{B})=n$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶实对称矩阵, 且 $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$. 若 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 3 , 则 $\boldsymbol{A}$ 相似于( )
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cccc}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x < 1, \quad \text { 则 } P\{X=1\}=(\quad) \\ 1-\mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}-\mathrm{e}^{-1}$.
$\text{D.}$ $1-\mathrm{e}^{-1}$.
设 $f_{1}(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $f_{2}(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度, 若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_{1}(x), & x \leqslant 0, \\
b f_{2}(x), & x>0
\end{array}(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度, 则 $a, b$ 应满足( )
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$.
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$.
$\text{C.}$ $a+b=1$.
$\text{D.}$ $a+b=2$.
填空题 （共 14 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$
已知曲线 $L$ 的方程为 $y=1-|x|(x \in[-1,1])$, 起点是 $(-1,0)$, 终点为 $(1,0)$, 则曲线积分 $\int_{L} x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=$
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1\right\}$, 则 $\Omega$ 的形心的竖坐标 $\bar{z}=$
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,1,1, a)^{\mathrm{T}}$. 若由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 生成的向量空间的 维数为 2 , 则 $a=$
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{C}{k !}, k=0,1,2, \cdots$, 则 $E\left(X^{2}\right)=$
求函数 $f(x)=\int_{1}^{x^{2}}\left(x^{2}-t\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值.
( I ) 比较 $\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t$ 与 $\int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| \mathrm{d} t(n=1,2, \cdots)$ 的大小, 说明理由;
(II) 记 $u_{n}=\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.
设 $P$ 为椭球面 $S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-y z=1$ 上的动点, 若 $S$ 在点 $P$ 处的切平面与 $x O y$ 面垂直, 求点 $P$ 的轨迹 $C$, 并计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{(x+\sqrt{3})|y-2 z|}{\sqrt{4+y^{2}+z^{2}-4 y z}} \mathrm{~d} S$, 其中 $\Sigma$ 是椭球面 $S$ 位于曲线 $C$ 上方的 部分.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 存在 2 个不同的解.
(I) 求 $\lambda, a$;
(II) 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解.
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$, 且 $\boldsymbol{Q}$ 的第三列 为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$;
(II) 证明 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 为正定矩阵, 其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^{2}+2 x y-y^{2}},-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty,
$$
求常数 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$.
设总体 $X$ 的概率分布为
其中参数 $\theta \in(0,1)$ 末知. 以 $N_{i}$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本 (样本容量为 $n$ ) 中等于 $i$ 的 个数 $(i=1,2,3)$. 试求常数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 使 $T=\sum_{i=1}^{3} a_{i} N_{i}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量, 并求 $T$ 的方差.
设 $ \left\{\begin{array}{l}
x=\mathrm{e}^{-t}, \\
y=\int_{0}^{t} \ln \left(1+u^{2}\right) \mathrm{d} u
\end{array}\right.$ 则 $ \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 x \mathrm{e}^{x}$ 的通解.