单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
考虑二元函数 $f(x, y)$ 的下面 4 条性质:
(1) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续;
(2) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的两个偏导数连续;
(3) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微;
(4) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的两个偏导数存在.
若用 “ $P \Rightarrow Q$ ” 表示可由性质 $P$ 推出性质 $Q$, 则有（）
$\text{A.}$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1).
$\text{B.}$ (3) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (1).
$\text{C.}$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1).
$\text{D.}$ (3) $\Rightarrow$ (1) $\Rightarrow$ (4).
设 $u_{n} \neq 0(n=1,2,3, \cdots)$, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)($
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 条件收敛.
$\text{D.}$ 收敛性根据所给条件不能判定.
设函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有界且可导, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 时, 必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时, 必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$.
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$ 时, 必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)$ 存在时, 必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$.
设有三张不同平面的方程 $a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=b_{i}, i=1,2,3$, 它们所组成的线性方程组的系数矩 阵与增广矩阵的秩都为 2 , 则这三张平面可能的位置关系为(）
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度分别为 $f_{1}(x)$ 和 $f_{2}(x)$, 分 布函数分别为 $F_{1}(x)$ 和 $F_{2}(x)$, 则( )
$\text{A.}$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)$ 必为某一随机变量的概率密度.
$\text{B.}$ $f_{1}(x) f_{2}(x)$ 必为某一随机变量的概率密度.
$\text{C.}$ $F_{1}(x)+F_{2}(x)$ 必为某一随机变量的分布函数.
$\text{D.}$ $F_{1}(x) F_{2}(x)$ 必为某一随机变量的分布函数.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^{2} x}=$
已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{y}+6 x y+x^{2}-1=0$ 确定, 则 $y^{\prime \prime}(0)=$
微分方程 $y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ 的特解是
已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 可化 成标准形 $f=6 y_{1}^{2}$, 则 $a=$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$, 且二次方程 $y^{2}+4 y+X=0$ 无实根的概率为 $\frac{1}{2}$, 则 $\mu=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有一阶连续导数, 且 $f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0$, 若 $a f(h)+b f(2 h)-$ $f(0)$ 在 $h \rightarrow 0$ 时是比 $h$ 高阶的无穷小, 试确定 $a, b$ 的值.
已知两曲线 $y=f(x)$ 与 $y=\int_{0}^{\arctan x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 在点 $(0,0)$ 处的切线相同, 写出此切线方程, 并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{2}{n}\right)$
计算二重积分 $\iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left|x^{2}, y^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数, $L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线, 其起点为 $(a, b)$, 终点为 $(c, d)$. 记
$$
I=\int_{L} \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y .
$$
(1) 证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关;
(2) 当 $a b=c d$ 时, 求 $I$ 的值.
(1) 验证函数 $y(x)=1+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{6}}{6 !}+\frac{x^{9}}{9 !}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n) !}+\cdots(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{x} ;$
(2) 利用 (1) 的结果求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n) !}$ 的和函数.
设有一小山, 取它的底面所在的平面为 $x O y$ 坐标面, 其底部所占的区域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}-x y\right.$ $\leqslant 75\}$, 小山的高度函数为 $h(x, y)=75-x^{2}-y^{2}+x y$.
（1）设 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为区域 $D$ 上一点, 问 $h(x, y)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方 向导数的最大值为 $g\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 试写出 $g\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的表达式.
(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动, 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为燓登的起点. 也就是说, 要在 $D$ 的边界线 $x^{2}+y^{2}-x y=75$ 上找出使 (1) 中的 $g(x, y)$ 达到最大值的点. 试确定 攀登起点的位置.
已知 4 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right), \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 均为 4 维列向量,其中 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}_{1}=2 \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}$. 如果 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$, 求线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同阶方阵,
(1) 如果 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 相似, 试证 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的特征多项式相等.
(2) 举一个 2 阶方阵的例子说明 (1) 的逆命题不成立.
(3) 当 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为实对称矩阵时, 试证 (1) 的逆命题成立.
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
对 $X$ 独立地重复观察 4 次, 用 $Y$ 表示观察值大于 $\frac{\pi}{3}$ 的次数, 求 $Y^{2}$ 的数学期望.
设总体 $X$ 的概率分布为
其中 $\theta\left(0 < \theta < \frac{1}{2}\right)$ 是末知参数, 利用总体 $X$ 的如下样本值
$3,1,3,0,3,1,2,3$,
求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值.