填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设试验成功的概率为 $\frac{3}{4}$ ，失败的概率为 $\frac{1}{4}$ ，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为
若 $X \sim E(\lambda)$ ，求 $D X$ ．
假设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望都等于 1 ，方差都等于 2 ，其相关系数为 0.25 ，求随机变量 $U=X+2 Y$ 和 $V=X-2 Y$ 的相关系数 $\rho$ ．
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2 x^3 y^2}, & \frac{1}{x}\langle y\langle x, x\rangle 1 \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ ，求数学期望 $E(Y), E\left(\frac{1}{X Y}\right)$ ．
按规定，某车站每天 8：00～9：00 和 9：00～10：00 之间都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为：
一旅客 8：20 到车站，求他候车时间的数学期望．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}e^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{cases}$
求（1）$Y=2 X$ 的数学期望
（2）$Y=e^{-2 X}$ 的数学期望．
设随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度
$$
f(x, y)=\frac{1}{8}(x+y) \quad 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2
$$
求 $D X 、 D Y$ ．
设随机变量 $X$ 服从指数分布，其概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，其中 $\theta>0$ 是常数，求 $E(X), D(X)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立同分布，且 $X$ 的概率分布为
$V=\min \{X, Y\}$ ，试求
（1）$(U, V)$ 的概率分布；
（2）$E(U V)$ ；
（3）$\rho_{u v}$
设随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度。
$$
f(x, y)=\frac{1}{8}(x+y) \quad 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2
$$
求 $\operatorname{cov}(X, Y), \rho_{X Y}, D(X+Y)$