单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2(x-1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是
$\text{A.}$ $F(x)=\left\{\begin{aligned}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1 .\end{aligned}\right.$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1 .\end{array}\right.$
若 $f(x)$ 的导函数是 $\sin x$ ，则 $f(x)$ 有一个原函数为
$\text{A.}$ $1+\sin x$ ．
$\text{B.}$ $1-\sin x$ ．
$\text{C.}$ $1+\cos x$ ．
$\text{D.}$ $1-\cos x$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d}\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]$ 等于
$\text{A.}$ $f(x)$ ．
$\text{B.}$ $f(x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{C.}$ $f(x)+C$ ．
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ．
在下列等式中，正确的结果是
$\text{A.}$ $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)$ ．
$\text{B.}$ $\int \mathrm{d} f(x)=f(x)$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x=f(x)$ ．
$\text{D.}$ $\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x=f(x)$ ．
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，＂$M \Leftrightarrow N$＂表示＂$M$ 的充分必要条件是 $N$＂，则必有
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数．
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数．
$\text{C.}$ $F(x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数．
$\text{D.}$ $F(x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数．
设 $f(x)$ 是连续函数，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时，$F(x)$ 必是偶函数．
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时，$F(x)$ 必是奇函数．
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是周期函数时，$F(x)$ 必是周期函数．
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时，$F(x)$ 必是单调增函数．
设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则
$\text{A.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数．
$\text{B.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数．
$\text{C.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数．
$\text{D.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数．
$\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^2}$ 等于
$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x \mathrm{~d} x$.
$\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x \mathrm{~d} x$.
$\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) \mathrm{d} x$.
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$, 则
$\text{A.}$ $M>N>K$.
$\text{B.}$ $M>K>N$.
$\text{C.}$ $K>M>N$.
$\text{D.}$ $K>N>M$.
甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 （单位：$m$ ）处．图中，实线表示甲的速度曲线 $v=v_1(t)$（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），虚线表示乙的速度曲线 $v=v_2(t)$（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），三块阴影部分面积的数值依次为 $10,20,3$ ．计时开始后乙追上甲的时刻记为 $t_0$（单位： s ），则
$\text{A.}$ $t_0=10$
$\text{B.}$ $15 < t_0 < 20$
$\text{C.}$ $t_0=25$
$\text{D.}$ $t_0>25$
设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $I < J < K$ ．
$\text{B.}$ $I < K < J$ ．
$\text{C.}$ $J < I < K$ ．
$\text{D.}$ $K < J < I$ ．
设二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=f(-1)=1, f(0)=-1$ ，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x < 0$ ．
$\text{C.}$ $\int_{-1}^0 f(x) \mathrm{d} x>\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_{-1}^0 f(x) \mathrm{d} x < \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时，$f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ ．
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ 时，$f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ ．
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime}(x)>0$ 时，$f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ ．
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时，$f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ ．
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\tan x} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>1$.
$\text{B.}$ $1>I_1>I_2$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>1$.
$\text{D.}$ $1>I_2>I_1$.
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令 $S_1=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, S_2= f(b)(b-a), S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$ ，则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$ ．
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$ ．
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$ ．
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$ ．
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} \mathrm{e}^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数．
$\text{B.}$ 为负常数．
$\text{C.}$ 恒为零。
$\text{D.}$ 不为常数．
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x$ ， $P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x$ ，则有
$\text{A.}$ $N < P < M$ ．
$\text{B.}$ $M < P < N$ ．
$\text{C.}$ $N < M < P$ ．
$\text{D.}$ $P < M < N$ ．
．如图，曲线方程为 $y=f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续导数，则定积分 $\int_0^a x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 等于
$\text{A.}$ 曲边梯形 $A B O D$ 面积．
$\text{B.}$ 梯形 $A B O D$ 面积．
$\text{C.}$ 曲边三角形 $A C D$ 面积．
$\text{D.}$ 三角形 $A C D$ 面积．
$\int_0^1 \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi^2}{4}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi^2}{8}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}+1$ ．
$\text{B.}$ $\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$ ．
$\text{C.}$ $\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$ ．
$\text{D.}$ $(1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}-1$ ．