单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $Q =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right), P \neq O$, 使 $P Q = O$ 则 ( )
$\text{A.}$ 当 $t=6$ 时, $r( P )=1$.
$\text{B.}$ 当 $t=6$ 时, $r(P)=2$.
$\text{C.}$ 当 $t \neq 6$ 时, $r(P)=1$.
$\text{D.}$ 当 $t \neq 6$ 时, $r(P)=2$.
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & -5 \\
4 & 7 & 1
\end{array}\right)$ 得秩。
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A , B$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $A$ 为对称阵, 证明 $B ^{ T } A B$ 也是对称阵.
已知三阶方阵 $A$ 满足 $A ^{ T }=- A$, 求 $A$ 的所有元素之和.
已知 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right)$ 求 $A ^{2023}$.
设三阶方阵 $A , B$ 满足 $A ^2 B - A - B = E$, 其中 $E$ 为单位矩阵, $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right)$, 求 $| B |$.
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)$,求$A^{-1}$
已知 $A ^3= O$, 求 $( A + E )^{-1}$.
已知 3 阶矩阵 $A$ 满足 $A B = E - A$, 判断 $A$ 是否可逆, 若可逆, 求出 $A$ 的逆矩阵.
设 $A$ 为 3 阶矩阵, $| A |=\frac{1}{3}$, 求 $\left|4 A -\left(3 A ^*\right)^{-1}\right|$.
已知 $A , B$ 是 2 阶矩阵, 且 $| A |=2,| B |=3$, 化简 $\left(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} O & 2 B ^* \\ 3 A ^* & O \end{array}\right)$.
求$A =\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
1 & 5 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 0
\end{array}\right)$ 逆矩阵
化矩阵为最简形
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\
3 & 6 & -9 & 7 & 9
\end{array}\right) .
$$
设矩阵 $A$ 与 $B$ 满足 $A B = A +2 B$, 其中 $A =\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right)$, 求 $B$.