线性代数（矩阵）基础训练专项训练

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线性代数（矩阵）基础训练专项训练

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

Q = (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{array}), P \neq O

, 使

P Q = O

则 ( )

A.

当

t = 6

时,

r (P) = 1

B.

当

t = 6

时,

r (P) = 2

C.

当

t \neq 6

时,

r (P) = 1

D.

当

t \neq 6

时,

r (P) = 2

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

2. 求

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & - 5 \\ 4 & 7 & 1 \end{array})

得秩。

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三、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

3. 设

A, B

为

n

阶矩阵, 且

A

为对称阵, 证明

B^{T} A B

也是对称阵.

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4. 已知三阶方阵

A

满足

A^{T} = - A

, 求

A

的所有元素之和.

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5. 已知

A = (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{array})

求

A^{2023}

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6. 设三阶方阵

A, B

满足

A^{2} B - A - B = E

, 其中

E

为单位矩阵,

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 2 & 0 & 1 \end{array})

, 求

| B |

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7. 已知

A = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})

,求

A^{- 1}

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8. 已知

A^{3} = O

, 求

(A + E)^{- 1}

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9. 已知 3 阶矩阵

A

满足

A B = E - A

, 判断

A

是否可逆, 若可逆, 求出

A

的逆矩阵.

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10. 设

A

为 3 阶矩阵,

| A | = \frac{1}{3}

, 求

| 4 A - {(3 A^{*})}^{- 1} |

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11. 已知

A, B

是 2 阶矩阵, 且

| A | = 2, | B | = 3

, 化简

(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}) (\begin{array}{cc} O & 2 B^{*} \\ 3 A^{*} & O \end{array})

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12. 求

A = (\begin{array}{llll} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \end{array})

逆矩阵

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13. 化矩阵为最简形

(\begin{array}{ccccc} 2 & - 1 & - 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 1 & 4 \\ 4 & - 6 & 2 & - 2 & 4 \\ 3 & 6 & - 9 & 7 & 9 \end{array}) .

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14. 设矩阵

A

与

B

满足

A B = A + 2 B

, 其中

A = (\begin{array}{lll} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{array})

, 求

B

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