概率论与数理统计基础训练（大数定律与中心极限定理）

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概率论与数理统计基础训练（大数定律与中心极限定理）

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立,

S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

则根据列维一林德柏格（Levy-Lindberg）中心极限定理，当

n

充分大时，

S_{n}

近似服从正态分布，只要

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

A.

有相同的数学期望.

B.

有相同的方差.

C.

服从同一指数分布.

D.

服从同一离散型分布.

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2. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, \dots

为独立同分布的随机变量序列, 且均服从参数为

λ (λ > 1)

的指数分布, 记

Φ (x)

为标准正态分布函数, 则

A.

lim_{n \to \infty} P {\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n λ}{λ \sqrt{n}} ⩽ x} = Φ (x)

B.

lim_{n \to \infty} P {\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n λ}{\sqrt{n λ}} ⩽ x} = Φ (x)

C.

lim_{n \to \infty} P {\frac{λ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n}{\sqrt{n}} ⩽ x} = Φ (x)

D.

lim_{n \to \infty} P {\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i} - λ}{\sqrt{n} λ} ⩽ x} = Φ (x)

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3. 已知随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, \dots

相互独立且都在

(- 1, 1)

上服从均匀分布, 根据独立同分布中心极限定理有

lim_{n \to \infty} P {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} ⩽ \sqrt{n}} =

A.

Φ (0)

B.

Φ (1)

C.

Φ (\sqrt{3})

D.

Φ (2)

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4. 假设随机变量序列

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, \dots

独立同分布, 且

E X_{n} = 0

, 则

lim_{n \to \infty} P {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} ⩽

n} =

A.

0 .

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

1 .

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5. 设随机变量

X, Y

的数学期望分别为 -2 和 2 , 方差分别为 1 和 4 , 而相关系数为 -0.5 . 则根据切比雪夫不等式

P {| X + Y | ⩾ 6} ⩽

A.

\frac{1}{6}

B.

\frac{1}{12}

C.

\frac{1}{24}

D.

\frac{1}{36}

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6. 将一个股子重复掷

n

次, 各次掷出的点数依次为

X_{1}, \dots, X_{n}

. 则当

n \to \infty

时,

\bar{X} =

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

依概率收敛于 .

A.

\frac{3}{2}

B.

\frac{5}{2}

C.

\frac{7}{2}

D.

\frac{9}{2}

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