单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
$(3-1)(3+1)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)$ 的计算结果的个位数字是
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 0
若 $A=(2+1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right) \cdots\left(2^{1024}+1\right)+1$ ，则 A 的个位数字为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
$18 \times(3+1)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right) \cdots\left(3^{64}+1\right)+9$ 的个位数字为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 9
如果 $\left(a^2+1\right)$ 与 $\left(a^2-1\right)$ 的乘积为 3 ，那么 $\left(a^2+1\right)\left(a^4+1\right)\left(a^8+1\right) \mathrm{...}\left(a^{512}+1\right)+1$ 的值为
$\text{A.}$ $\pm 2^{1024}$
$\text{B.}$ $\pm 2^{512}$
$\text{C.}$ $2^{512}$
$\text{D.}$ $2^{1024}$
某同学在计算 $3(4+1)\left(4^2+1\right)$ 时，把 3 写成 $4-1$ 后，发现可以连续运用平方差公式计算：原式 $=(4-1)(4+1)\left(4^2+1\right)=\left(4^2-1\right)\left(4^2+1\right)=16^2-1=255$ ，据此可得 $\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^4}\right)\left(1+\frac{1}{2^8}\right)+\frac{1}{2^{15}}$ 的值为
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算 $2^{128}-3 \times 5 \times\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right) \mathrm{...}\left(2^{64}+1\right)$ 的结果是
$1+6(7+1)\left(7^2+1\right)\left(7^4+1\right)\left(7^8+1\right)\left(7^{16}+1\right)$ 的个位数字是
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算：$(5+1)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)+\frac{1}{4}=$
先观察下面的解题过程，然后解答问题：
题目：化简：$(2+1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)$
解：$(2+1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)$
$$
\begin{aligned}
& =(2-1)(2+1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right) \\
& =\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right) \\
& =\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right) \\
& =2^8-1
\end{aligned}
$$
计算： $4 \times\left(3^2+1\right) \times\left(3^4+1\right) \times\left(3^8+1\right) \times \mathrm{...} \times\left(3^{64}+1\right)-\frac{3^{128}}{2}=$
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 $\_\_\_\_$ ；（请选择正确的一个）
A．$a^2-2 a b+b^2=(a-b)^2$
B．$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
C．$a^2+a b=a(a+b)$
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
① 已知 $x^2-4 y^2=12, x+2 y=4$ ，求 $x-2 y$ 的值；
② 计算：$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{2021^2}\right)\left(1-\frac{1}{2022^2}\right)$ ；
③ 计算：$\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^4}\right)\left(1+\frac{1}{2^8}\right)+\frac{1}{2^{15}}$ ．
问题提出：
（1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子：
$$
a=(2+1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right) \mathrm{L}\left(2^{2048}+1\right)
$$
小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是：
$$
a=1 \times(2+1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right) \mathrm{L}\left(2^{2048}+1\right)=(2-1)(2+1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right) \mathrm{L}\left(2^{2048}+1\right),
$$
求出 $a=$
问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出 $b$ 的值．
$$
b=(3+1)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right) \mathrm{L}\left(3^{1024}+1\right)
$$
迁移应用：定义一种新运算：$i^2=-1$ ．
（3）$(2+3 i)(2-3 i)=$ ．
（4）求 $\left[1+(2 i)^2\right]\left[1+(2 i)^4\right]\left[1+(2 i)^8\right] \mathrm{L}\left[1+(2 i)^{256}\right]\left[1+(2 i)^{512}\right]$ 的值．