填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 5 & 3\end{array}\right)$ ，则 $B A^T=$
若向量 $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ 与 $\beta=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)$ ，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积 $[\alpha, \beta]=$
已知 $A$ 是四阶方阵，$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，且 $|A|=3$ ，则 $\left|-\frac{1}{3} A^*\right|=$
设 $D=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2,3)$ ，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=$
设 $\alpha=(2,1,2)^T, \beta=(1,2,2)^T, \gamma=(2,2, t)^T$ 线性相关，则 $t=$
若 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\mathbf{- 1 , 0 , 2}, B$ 与 $A$ 相似，则 $|B-3 E|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $ D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\
-1 & 13 & 15 & 8 \\
2 & 9 & 7 & 6 \\
1 & 5 & 4 & 1\end{array}\right|$
求向量组 $\alpha_1=(1,1,1,1)^T, \alpha_2=(1,-1,1,-1)^T$ ， $\alpha_3=(2,1,2,1)^T , \alpha_4=(1,-1,-1,1)^T$ 的秩及其一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示
确定 $\lambda$ 的值，分别使线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2-x_3=1 \\ 2 x_1+3 x_2+\lambda x_3=3 \\ x_1+\lambda x_2+3 x_3=2\end{array}\right.$ 无解、
有唯一解、有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 4 \\ 5 & -3\end{array}\right)$ ，且 $A X=X+B$ ，求 $X$
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 2 ，已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是它的三个解向量，且 $\alpha_1+\alpha_3=(1,2,-1,3)^T$ ， $\alpha_1+\alpha_2=(2,5,1,6)^T, \alpha_3=(1,0,-1,2)^T$ ，求该方程组的通解．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $Q$ ，
使 $Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵（需写出正交矩阵及对角矩阵）
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设方阵 $A$ 满足 $A^3-3 A-10 E=\mathbf{0}$ ，证明 $A$ 和 $A-4 E$都可逆，并求对应逆矩阵