单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
称止整数 $n$ 为好数，当它各位数字均不相同，且对于所有止整数 $m$ 满足 $\left[\frac{n}{10^m}\right]>0$ ，都有 $\left.\left[\frac{n}{10^m}\right] \right\rvert\, n$ ，求最大好数的范围
$\text{A.}$ $(0,1000)$
$\text{B.}$ $(1000,2000)$
$\text{C.}$ $(2000,3000)$
$\text{D.}$ 以上均不对
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\sum_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^i}{20}\right]$ 模 7 的余数．
求 $\sin ^3 6^{\circ}-\sin ^3 114^{\circ}+\sin ^3 126^{\circ}$
求 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 的排列的个数，使得排列中没有出现连续的 $12,23,34,45,56,67,78$
已知数列 $1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, \ldots$ ，求第 2024 项模 5 的余数．
求四元组 $\left(a_1, a_2, a_3, a_4\right)$ 的个数，使得 $a_i \in\{1,2,3\}$ ，且 $10 < a_1 a_2 a_3 a_4 < 20$ ．
求 $(0,2 \pi]$ 上方程 $2^{\cos x}=\sin x$ 的解的个数．
求 $\mathbf{R}$ 上方程 $x\left(\mathrm{e}^{x^4-1}-1\right)+\left(\mathrm{e}^x-1\right)\left(x^4-1\right)=0$ 的解的个数．
求 $\mathbf{R}$ 上方程 $x^2-13[x]+11=0$ 的解的个数．
在体积为 1 的正方体内取一个点，过这个点作三个平行丁正方体面的平面，将正方体分为 8 个长方体，求 这些小长方体中体积不大于 $\frac{1}{8}$ 的长方体个数的最小值．
在离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆中，$F_1, F_2$ 是两个焦点，$P$ 是椭圆上一点，且 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3},\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=3$ ，求 $S_{\triangle P F_1 F_2}$ ．
用 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的数码和，求满足 $S(n+1)$ 与 $S(n)$ 均为 5 的倍数的 $n$ 的最小值．
在 $\triangle A B C$ 中，求 $\cos A \cos B \cos C$ 的最小值或下确界．
在 $\triangle A B C$ 中，若 $B C$ 边上的高为 $\frac{1}{3} a$ ，求$\frac{(b+c)^2}{b c}$ 的范围．
在 $\triangle A B C$ 中，若 $a=2, b=\sqrt{2}, c=2 \sqrt{2}, D$ 在 $B C$ 上，比较 $A D^2$ 与 $2 D C \times D B$ 的大小．
在 $\triangle A B C$ 中，若 $O$ 为形外一点，满足 $\angle B O C=2 \angle B A C$ ，线段 $O C$ 与线段 $A B$ 交于 $D$ ，且 $O B=O C=3$ ，$O D=2$ ，求 $B D \cdot A D$ ．
在 $\triangle A B C$ 中，若 $D$ 在 $B C$ 上，$A D$ 平分 $\angle B A C, \triangle A D C$ 的内心与 $\triangle A B C$ 的外心重合，求 $\angle C$ ．
在 $\triangle A B C$ 中，若 $D$ 在 $B C$ 上，$A D$ 平分 $\angle B A C, A B=A D=3, C D=2$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．
在 $\triangle A B C$ 中，求 $2 \sin A+\sin B+\sin C$ 的最大值的取等条件．
$x \in \mathbf{R}$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，并用 $\{x\}=x-[x]$ 表示小数部分，已知：$a_1=\sqrt{2}$ ，
$$
a_{n+1}=\left[a_n\right]+\frac{1}{\left\{a_n\right\}} \text {, 求 } \sum_{k=1}^{2024} a_k
$$