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$x \in \mathbf{R}$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，并用 $\{x\}=x-[x]$ 表示小数部分，已知：$a_1=\sqrt{2}$ ，

$$
a_{n+1}=\left[a_n\right]+\frac{1}{\left\{a_n\right\}} \text {, 求 } \sum_{k=1}^{2024} a_k
$$
                        
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