《高等数学解题指南》导数的概念与基本训练

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《高等数学解题指南》导数的概念与基本训练

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (0) = 0

，则

f (x)

在点

x = 0

处可导的充要条件是

A.

lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{2}} f (1 - \cos h)

存在

B.

lim_{h \to 0} \frac{1}{h} f (1 - e^{h})

存在

C.

lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{2}} f (h - \sin h)

存在

D.

lim_{h \to 0} \frac{f (2 h) - f (h)}{h}

存在

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2. 设

f (x) = (x^{2} - 2 x - 3) | x^{3} - x |

的不可导点的个数为

A.

B.

C.

D.

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3. 设

f (x)

可导，令

F (x) = f (x) (1 + | \sin x |)

，则

f (0) = 0

是

F (x)

在

x = 0

处可导的

A.

充分而非必要条件

B.

必要而非充分条件

C.

充要条件

D.

既非充分又非必要条件。处可导的充要条件

F_{-}^{'} (0) = F_{+}^{'} (0)

．

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 设

f (x)

在点

x = x_{0}

处连续，且

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{x - x_{0}} = a

，则

f^{'} (x_{0})

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5. 设

f^{'} (x_{0})

存在，则

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} - 3 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

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6. 设

f^{'} (x_{0})

存在，则

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0} - Δ x)}{Δ x} =

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7. 设

f (x) = x (x + 1) (x + 2) \dots (x + 100)

，求

f^{'} (- 2)

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8. 设

f (x) = x \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}

，求

f^{'} (0)

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三、解答题（共 1 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 设连续函数

q (x) < 0

，证明方程

y^{''} + q (x) y = 0

的非零解至多有一个零值．

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