解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明曲线积分 $\int_{(0,0)}^{(4,8)} \mathrm{e}^{-x} \sin y \mathrm{~d} x-\mathrm{e}^{-x} \cos y \mathrm{~d} y$ 在 $x O y$ 平面内与路径无关，并计算该积分值。
利用格林公式计算下列曲线积分： $\int_L\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x+\left(4+y^2\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为 $y=1-|x|$ 上从点 $(1,0)$ 到点 $(-1,0)$ 的一段弧；
利用格林公式计算 $\int_{\Gamma}[\varphi(y) \cos x-\pi y] \mathrm{d} x+\left[\varphi^{\prime}(y) \sin x-\pi\right] \mathrm{d} y$ ，其中曲线弧 $\Gamma$ 的起点为 $A(\pi, 2)$ ，终点为点 $B(3 \pi, 4)$ 且位于线段 $\overline{A B}$ 的下方，又曲线弧 $\Gamma$ 与线段 $\overline{A B}$ 所围图形面积为 2 ．
$I=\oint_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 为
（i）椭圆 $\frac{(x-2)^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ 所围区域的正向边界；
（ii）椭圆 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ 所围区域的正向边界．
求微分方程 $\sin x \sin 2 y \mathrm{~d} x-2 \cos x \cos 2 y \mathrm{~d} y=0$ 的通解．
设在半平面 $x>0$ 中，有一力场，力的大小与点到原点的距离平方成正比，方向指向原点，证明在此力场中场力作功与路径无关，并求质点从点 $(1,1)$ 到点 $(2,2)$ 时场力所作的功．
思考题：在曲线积分与路径无关性定理中，为什么要求区域 $D$ 是单连通的？试举例说明．