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利用格林公式计算 $\int_{\Gamma}[\varphi(y) \cos x-\pi y] \mathrm{d} x+\left[\varphi^{\prime}(y) \sin x-\pi\right] \mathrm{d} y$ ，其中曲线弧 $\Gamma$ 的起点为 $A(\pi, 2)$ ，终点为点 $B(3 \pi, 4)$ 且位于线段 $\overline{A B}$ 的下方，又曲线弧 $\Gamma$ 与线段 $\overline{A B}$ 所围图形面积为 2 ．
                        
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