【30787】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设随机变量 $X \sim U(-1,2)$ ， $$ X_1=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0<X<2, \\ 0, & -1<X \leqslant 0, \end{array} \quad X_2= \begin{cases}1, & -1<X<1, \\ 0, & 1 \leqslant X<2 .\end{cases}\right. $$ 求：（1）$\left(X_1, X_2\right)$ 的联合概率分布； （2）$D\left(X_1 X_2\right)$ 和 $D\left(X_1+X_2\right)$ ； （3）在 $X_1+X_2=1$ 的条件下，$X_1$ 的条件概率分布．

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【30786】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$[X]$ 表示不超过 $X$ 的最大整数．令 $Y= [X]+1$ ，求： （1）$Y$ 的概率分布； （2）$P\{Y>6 \mid Y>5\}$ ； （3）$E(X+Y)$ ．

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【30785】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 已知 $R ^3$ 的两组基 $\alpha _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 与 $\beta _1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta _2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ ， $\beta _3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$. （1）求由基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 的过渡矩阵； （2）求 $\gamma =(9,6,5)^{ T }$ 在这两组基下的坐标； （3）求向量 $\delta$ ，使它在这两组基下有相同的坐标．

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【30784】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设可逆线性变换 $x = C y$［其中 $x =\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }, y =\left(y_1, y_2, y_3\right)^{ T }, C$ 是三阶可逆矩阵了将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+9 x_2^2+3 x_3^2+8 x_1 x_2-4 x_1 x_3-10 x_2 x_3$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=2 y_1^2+3 y_2^2+6 y_3^2-4 y_1 y_2-4 y_1 y_3+8 y_2 y_3$ ．求 $C$ ．

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【30783】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 三元二次型 $A$ 的主对角线元素之和为 $3, A B + B = O$ ，其中 $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2\end{array}\right)$ ． （1）求在正交变换下所得到的标准形； （2）求二次型的表达式； （3）证明 $r( A + E )+r( A - E )=4$ ； （4）若 $\beta =(4,5,0)^{ T }$ ，求 $A ^n \beta$ ．

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【30782】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设二次型 $$ x ^{T} A x =x_1^2+4 x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 c x_2 x_3, $$ 矩阵 $A$ 满足 $A B = O$ ，其中 $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 5\end{array}\right)$ ． （1）用正交变换化二次型 $x ^T A x$ 为标准形，并写出所用正交变换； （2）求 $( A -3 E )^6$ ．

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【30781】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A ^2= E$ ，且秩 $r( A + E )=k<n$ ． （1）求二次型 $x ^{ T } A x$ 的规范形； （2）证明 $B = E + A + A ^2+ A ^3+ A ^4$ 是正定矩阵，并求行列式 $| B |$ 的值．

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【30780】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+2 a x_2 x_3(a<0)$ 经正交变换 $x = Q y$ 化为标准形 $f=3 y_1^2+3 y_2^2+b y_3^2$ ． （1）求实数 $a, b$ ； （2）求正交阵 $Q$ ； （3）若 $x ^{ T } x =2$ ，求 $f$ 的最大值．

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【30779】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & a & 4-a\end{array}\right)$ ，且 $r( A )=2$ ，则 $A ^* x = 0$ 的通解为 $\qquad$ ．

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【30778】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵， $A ^*$ 为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，$r( A )+r\left( A ^*\right)=n, A ^*$ 的各行元素之和均为 3 ，求 $A ^* x = 0$ 的通解．

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