【30796】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{4}+a x y, & |x| \leqslant 1,|y| \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, } \end{array}\right. $$ 其中常数 $a$ 满足 $|a| \leqslant \frac{1}{4}$ ．记随机事件 $A=\{X \geqslant 0\}, B=\{Y \geqslant 0\}$ ，证明以下三个结论相互等价： （1）$A, B$ 相互独立；（2）$X$ 与 $Y$ 不相关；（3）$X$ 与 $Y$ 相互独立．

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【30795】 【 杨超《考前必做100》道题目-76-100题】 解答题 设 $X$ 与 $Y$ 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 $$ \begin{aligned} & f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{array}\right. \\ & f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} \mu e^{-\mu y}, & y>0 \\ 0, & y \leqslant 0 \end{array}\right. \end{aligned} $$ 其中 $\lambda>0, \mu>0$ 为常数．引人随机变量 $$ Z= \begin{cases}1, & X \leqslant Y \\ 0, & X>Y .\end{cases} $$ （1）试求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ； （2）试求 $Z$ 的概率分布和分布函数．

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【30794】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布，$Y$ 服从 $B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立．令 $Z=X-Y$ ，求： （1）$Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$ ； （2）$E(|X-Y|), D(|X-Y|)$ ．

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【30793】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $$ f(x, y)= \begin{cases}1, & 0<x<1,0<y<2 x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$ 求：（1）$(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$ ； （2）$Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$ ； （3）$P\left\{\left.Y \leqslant \frac{1}{2} \right\rvert\, X \leqslant \frac{1}{2}\right\}$ ．

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【30792】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $$ f(x, y)= \begin{cases}C x^2 y, & 0<y<x<1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$ （1）试确定常数 $C$ ． （2）试求 $X, Y$ 的边缘概率密度，$X$ 与 $Y$ 是否相互独立？ （3）试求条件概率密度．

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【30791】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 单选题 在区间 $(-1,1)$ 上任意投一质点，以 $X$ 表示该质点的坐标．设该质点落在 $(-1$ ， 1）中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则

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【30790】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设随机变量 $X$ 服从泊松分布，已知 $$ E[(X-1)(X-3)]=\frac{3}{4}, $$ 则 $P\{X=3\}=$ $\qquad$ ．

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【30789】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 单选题 对任意正整数 $m, n$ ，随机变量 $X$ 都满足 $P\{X>m+n \mid X>m\}=P\{X>n\}$ ，记 $P\{X<1\}=p$ ，则下列结论中一定不正确的是

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【30788】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 单选题 设 $X, Y$ 为随机变量，$P\{X Y \leqslant 0\}=\frac{3}{5}, P\{\max \{X, Y\}>0\}=\frac{4}{5}$ ，则 $P\{\min \{X$ ， $Y\} \leqslant 0\}=$

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【30787】 【 杨超《考前必做100》道题目-51-75题】 解答题 设随机变量 $X \sim U(-1,2)$ ， $$ X_1=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0<X<2, \\ 0, & -1<X \leqslant 0, \end{array} \quad X_2= \begin{cases}1, & -1<X<1, \\ 0, & 1 \leqslant X<2 .\end{cases}\right. $$ 求：（1）$\left(X_1, X_2\right)$ 的联合概率分布； （2）$D\left(X_1 X_2\right)$ 和 $D\left(X_1+X_2\right)$ ； （3）在 $X_1+X_2=1$ 的条件下，$X_1$ 的条件概率分布．

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