【31611】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 （数一）在 $R^3$ 中给定一组基 $\alpha_1=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ，已知从 $R^3$ 的另一组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 到 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求另一组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ ．

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【31610】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x}=a x_1^2+b x_2^2+a x_3^2+2 c x_1 x_3$ ，当 $a, b, c$ 满足 $\qquad$时， $\boldsymbol{Q}$ 为正定矩阵．

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【31609】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，$\lambda_1=\lambda_2=3$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值，$\alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,2)^{\mathrm{T}}$ 都是 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 3 的特征向量．又设二次型 $f(x)=x^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 的符号差为 2 ，则矩阵 $\boldsymbol{A}=$ $\qquad$ ．

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【31608】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=3 x_1^2+a x_3^2$ 的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $a$ 的取值范围为 $\qquad$ ．

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【31607】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 设 $\alpha=(1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \beta=(1, a, 2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ，且 $\lambda=3$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的特征向量是 $\qquad$ ．

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【31606】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 若可逆矩阵满足 $\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{D}=$ $\qquad$ ．

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【31605】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 设 $\boldsymbol{A}_{n \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ ，其中 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，余子式 $M_{1 n} \neq 0$ ，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\qquad$ ．

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【31604】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=1, \lambda=1$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其对应的特征向量是 $\alpha_1=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}$ ，则方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $\qquad$ ．

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【31603】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，又 $\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}$ 不可逆，则 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=$ $\qquad$

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【31602】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 填空题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*, \boldsymbol{B}^*$ 分别是 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，若 $|\boldsymbol{A}|=1,|\boldsymbol{B}|=2$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为 $\qquad$ ．

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