【31621】 【 王平华《线性代数》期末试卷】 单选题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵，则分块矩阵 $X=\left(\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array}\right)$ 逆矩阵为

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【31620】 【 王平华《线性代数》期末试卷】 单选题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶方阵，且 $A^2=A$ ，则 $\qquad$ ．

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【31619】 【 王平华《线性代数》期末试卷】 单选题 已知 $\boldsymbol{n}$ 阶行列式 $|A|=2, m$ 阶行列式 $|B|=-2$ ，则行列式 $\left|\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right|$ 的值为 $\qquad$ ．

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【31618】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 解答题 设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，其中 $\alpha_1, \alpha_2$ 分别是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值 -1 与 1 的特征向量，且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \alpha_3-\alpha_2=\mathbf{0}$ ． （1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆； （2）计算 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{P}$ ．

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【31617】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 解答题 设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，其中 $\alpha_1, \alpha_2$ 分别是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值 -1 与 1 的特征向量，且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \alpha_3-\alpha_2=\mathbf{0}$ ． （1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆； （2）计算 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{P}$ ．

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【31616】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵， $\boldsymbol{Q}=\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{\sqrt{3}} & a & d \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & b & e \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & c & f\end{array}\right)$ 为正交矩阵．二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 经过 正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 化为 $-y_1^2+2 y_2^2+k y_3^2$ ，且 $|\boldsymbol{A}|=-4$ ，求 （1）$k$ 的值； （2）正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ； （3）矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．

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【31615】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 解答题 设矩阵 $\boldsymbol{A}_{3 \times 3}$ 有三个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ，它们对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ．令 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ ， （1）证明：$\beta, A \beta, A^2 \beta$ 线性无关； （2）若 $A^3 \beta=A \beta$ ，求 $r(A-E)$ ．

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【31614】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a-1 & 1 & a+1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right)$ ． （1）求 $a$ 的值； （2）求可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$ ．

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【31613】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 解答题 已知齐次线性方程组（I）有基础解系 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ．方程组 （II）是在方程组（I）的基础上添加了两个方程 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1+2 x_2+2 x_4=0\end{array}\right.$ ，求方程组（II）的通解．

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【31612】 【 新东方考研数学《线性代数》讲义】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 9 \\ 2 & 0 & 6 \\ -3 & 1 & -7\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为3阶非零矩阵，$\alpha_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}b \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 为 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$的解向量，且 $\boldsymbol{A x}=\alpha_3$ 有解． （1）求常数 $a, b$ ． （2）求 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解．

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