【32278】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, \angle A B C=\alpha$ ，点 $D$ 在射线 $B C$ 上，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点 A 逆时针旋转 $180^{\circ}-2 \alpha$ 得到线段 $A E$（点 $E$ 不在直线 $A B$ 上），过点 $E$ 作 $E F / / A B$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ． [img=/uploads/2025-10/bb4039.jpg][/img] （1）如图 1，$\alpha=45^{\circ}$ ，点 $D$ 与点 $C$ 重合，求证：$B F=A C$ ； （2）如图 2，点 $D, F$ 都在 $B C$ 的延长线上，用等式表示 $D F$ 与 $B C$ 的数量关系，并证明．

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【32277】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，拋物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 经过点 $O$ 和点 $A(3,3 a)$ ． （1）求 $c$ 的值，并用含 $a$ 的式子表示 $b$ ； （2）过点 $P(t, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $M$ ，交直线 $y=a x$ 于点 $N$ ． ① 若 $a=1, t=4$ ，求 $M N$ 的长； ② 已知在点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $B(2 a, 0)$ 的过程中，$M N$ 的长随 $O P$ 的长的增大而增大，求 $a$的取值范围．

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【32276】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期 $T$ 日（ $T$ 可取 $0,1,2$ 或 3 ）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第 $x$ 日单日制成的合格品的个数为 $y$ ，根据以往的培训经验，对于给定的 $T$ ，可以认为 $y$ 是 $x$ 的函数．当 $T=0$ 和 $T=3$ 时，部分数据如下： [img=/uploads/2025-10/6cf53e.jpg][/img] $T=3$ 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的 $T$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中描出该 $T$ 值下各数对 $(x, y)$ 所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线 $C_T$ ．当 $T=1$ 和 $T=2$ 时，曲线 $C_1, C_2$ 如图所示． [img=/uploads/2025-10/e2108c.jpg][/img] （1）观察曲线 $C_1$ ，当整数 $x$ 的值为 $\_\_\_\_$时，$y$ 的值首次超过 35； （2）写出表中 $m$ 的值，并在给出的平面直角坐标系中画出 $T=3$ 时的曲线 $C_3$ ； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ① 若新员工单日制成不少于 45 个合格品即可获得＂优秀学员＂证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第 $\_\_\_\_$日可获得＂优秀学员＂证书； ② 若工厂希望小腾在完成理论学习后的 4 日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系， 在这 4 日中应安排小腾先进行 $\_\_\_\_$日的模拟练习。

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【32275】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 如图，过点 $P$ 作 $\odot O$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，连接 $O A, O B, O P$ ，取 $O P$ 的中点 $C$ ，连接 $A C$ 并延长，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ． [img=/uploads/2025-10/384126.jpg][/img] （1）求证：$\angle A D B=\angle A O P$ ； （2）延长 $O P$ 交 $D B$ 的延长线于点 $E$ ．若 $A P=10, \tan \angle A O P=\frac{1}{2}$ ，求 $D E$ 的长．

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【32274】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加 100 米比赛．对这四名运动员最近10 次 100 米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员 10 次测试成绩的折线图： [img=/uploads/2025-10/fb8503.jpg][/img] b．丙运动员 10 次测试成绩： 12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12 .9 c．四名运动员 10 次测试成绩的平均数、中位数、方差： [img=/uploads/2025-10/0cffcc.jpg][/img] （1）表中 $m$ 的值为 $\_\_\_\_$ ； （2）表中 $n$ $\_\_\_\_$ 0.056 （填＂＞＂＂＝＂或＂＜＂）； （3）根据这 10 次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 $\_\_\_\_$ ．

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【32273】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图 1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是 $1: 1: 2$ ．已知单根膀条长是胸腹高的 5 倍，门条比单根膀条短 10 cm ，图 1 中 $B C$ 的长是门条长的 $\frac{5}{9}, A B, C D$的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． [img=/uploads/2025-10/1ea89a.jpg][/img]

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【32272】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y=k x+b(k \neq 0)$ 的图象经过点 $(1,3)$ 和 $(2,5)$ ． （1）求 $k, b$ 的值； （2）当 $x<1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y=m x(m \neq 0)$ 的值既小于函数 $y=k x+b$ 的值，也小于函数 $y=x+k$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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【32271】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 如图，在 $\triangle A B C$ 中，$D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，$D F \perp B C$ ，垂足为 $F$ ，点 $G$ 在 $D E$的延长线上，$D G=F C$ ． [img=/uploads/2025-10/4bd948.jpg][/img] （1）求证：四边形 $D F C G$ 是矩形； （2）若 $\angle B=45^{\circ}, D F=3, D G=5$ ，求 $B C$ 和 $A C$ 的长．

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【32270】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 已知 $a+b-3=0$ ，求代数式 $\frac{4(a-b)+8 b}{a^2+2 a b+b^2}$ 的值．

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【32269】 【 2025年北京中考数学答案详解完整版】 解答题 解不等式组：$\left\{\begin{array}{l}2(x+1)>x-1 \\ \frac{x+5}{2}>3 x\end{array}\right.$

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