如图，过点 $P$ 作 $\odot O$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，连接 $O A, O B, O P$ ，取 $O P$ 的中点 $C$ ，连接 $A C$ 并延长，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ．
（1）求证：$\angle A D B=\angle A O P$ ；
（2）延长 $O P$ 交 $D B$ 的延长线于点 $E$ ．若 $A P=10, \tan \angle A O P=\frac{1}{2}$ ，求 $D E$ 的长．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$