【33164】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 证明题 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}(x-4)^n$ 收敛区间及和函数 $S(x)$ ：

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【33163】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 证明题 设 $f(x, y)$ 在 $x^2+y^2 \leq 1$ 上连续，求证： $\lim _{R \rightarrow 0} \frac{1}{R^2} \iint_{x^2+y^2 \leq R^2} f(x, y) d \sigma=\pi f(0,0)$ 。

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【33162】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 $\iint \mid x^2+y^2-4| \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 为圆域 $x^2+y^2 \leq 9$ 。

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【33161】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x$

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【33160】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 在过点 $P(1,3,6)$ 的所有平面中，求一平面，使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。

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【33159】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ 讨论 $\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 在 $(0,0)$ （1）偏导数是否存在。 （2）是否可微。

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【33158】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 设 $z=f(2 x-y, y \sin x)$ ，其中 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．

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【33157】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+x^2 & x<0 \\ 1 & x=0, \\ \ln \left(b+x^2\right) & x>0\end{array}\right.$ 已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续可导，试确立 $a, b$ 并求 $f^{\prime}(x)$

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【33156】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 单选题 已知 $\alpha=(1, k, 1)^T$ 是矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的特征向量，则 $k=$

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【33155】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 单选题 若二次型$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=(k+1) x_1^2+(k-2) x_2^2+(k-3) x_3^2$ 正定，则

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