【33185】 【 决战高考-数列】 解答题 已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_n>0$ 且 $a_1 a_3=36, a_3 +a_4=9\left(a_1+a_2\right)$. （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）若 $S_n+1=3^{b_n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 及数列 $\left\{a_n b_n\right\}$的前 $n$ 项和 $T_n$ ； （3）设 $c_n=\frac{a_n}{\left(a_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)}$ ，求 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$项和 $P_n$ ．

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【33184】 【 决战高考-数列】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 中，$a_1=b_1= c_1=1, c_n=a_{n+1}-a_n, c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}} \cdot c_n(n \in$ N＊）． （1）若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_1+b_2=6 b_3$ ，求 $q$ 与 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<1+\frac{1}{d} .\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$

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【33183】 【 决战高考-数列】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_n$ 为数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$ ． （1）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等差数列； （2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

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【33182】 【 决战高考-数列】 填空题 已知集合 $A=\left\{x \mid x=2 n-1, n \in \mathbf{N}^*\right\}, B =\left\{x \mid x=2^n, n \in \mathbf{N}^*\right\}$ 。将 $A \cup B$ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 $\left\{a_n\right\}$ 。记 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_n>12 a_{n+1}$成立的 $n$ 的最小值为

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【33181】 【 决战高考-数列】 填空题 数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^n a_n=3 n-$ 1 ，前 16 项和为 540 ，则 $a_1=$

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【33179】 【 决战高考-数列】 单选题 设 $a, b \in \mathbf{R}$ ，数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=a, a_{n+1}=a_n^2 +b, n \in \mathbf{N}$ ，则

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【33178】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 求一个正交变换化下列二次型为标准型： （1）$f=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+4 x_2 x_3$

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【33177】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 设线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_1-x_2+x_3=1 \\ -x_1-2 x_2+x_3=-1 \\ x_1-3 x_2+2 x_3=c \end{array}\right. $$ 试问 $c$ 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。

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【33176】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 问 $\lambda, \mu$取何值时，齐次方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} \lambda x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+\mu x_2+x_3=0 \\ x_1+2 \mu x_2+x_3=0 \end{array}\right. $$ 有非零解？

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【33175】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5】 解答题 将向量 $\beta$表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合： （1）$\alpha_1=(1,1,-1), \alpha_2=(1,2,1), \alpha_3=(0,0,1), \beta=(1,0,-2)$

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