【30557】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 解答题 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？

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【30556】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 解答题 随机地取某种炮弹 9 发做实验，测得炮口速度的样本标准差 $S=11 m / s$ ．设炮口速度 $X$服从 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，求方差 $\sigma^2$ 的置信水平为 $95 \%$ 的双侧置信区间。

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【30555】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 解答题 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0, \\ 0 , & x \leq 0\end{array}\right.$ ，其中 $\theta>0$ 为未知参数， $X _{ 1 }, X _{ 2 }, \cdots, X _{ n }$ 是来自总体 $X$ 的样本，试求末知参数 $\theta$ 的（1）矩估计量，（2）最大似然估计量。

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【30554】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 解答题 一个复杂系统由 $n$ 个相互独立的元件组成，每个元件损坏的概率为 0.1 ，已知至少有 $80 \%$ 的元件正常工作才能使系统正常运行，请使用中心极限定理，求 $n$ 至少为多大时才能保证系统正常运行的概率不低于 0.95 。

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【30553】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} C y(1-x), 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x \\ 0 & \text { 其他 } \end{array}\right. $$ 求（1）常数 C ； （2）判断X及Y是否独立； （3）求概率 $P\{X+Y \leq 1\}$ 。

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【30552】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 解答题 设 $X$ 服从 $N(0,1)$ ，求 $Y=2 X^2+1$ 的概率密度。

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【30551】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 解答题 设随机变量 $X$ 的分布律为 [img=/uploads/2025-08/ef9181.jpg][/img] 求（1）$X$ 的分布函数 $F(x)$ ；（2）$P\{0 \leq X \leq 2.5\}$ 及 $P\{2<X \leq 3\}$ 。

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【30550】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 解答题 一批产品中 $90 \%$ 是合格品。检验时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05 ，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02 。求 （1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率； （2）一个产品经检查后被认为是合格品，求该产品确是合格品的概率。

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【30549】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 填空题 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{20}$ 是来自 $X$ 的样本，令 $Y=3 \sum_{i=1}^{10} X_i-4 \sum_{i=11}^{20} X_i$ ，则 $Y$ 服从分布 $\qquad$ 。

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【30548】 【 《概率论与数理统计模拟试卷》第二套】 填空题 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是总体 $N(\mu, 4)$ 的样本， $\bar{X}$ 是样本均值，则当 $n$ 至少为 $\qquad$ $\qquad$时有 $E(\bar{X}-\mu)^2 \leq 0.1$

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