单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $z=\frac{y}{x} f(x y)$ ，其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ $2 y f^{\prime}(x y)$
$\text{B.}$ $-2 y f^{\prime}(x y)$
$\text{C.}$ $\frac{2}{x} f(x y)$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{x} f(x y)$
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ 。
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
已知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-2 x y}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}$ ，则
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．
$\text{D.}$ 不能确定点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，
$$
f(0,0)=0, \vec{n}=\left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}
$$
非零向量 $\vec{\alpha}$ 与 $\vec{n}$ 垂直，则
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{n} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{n} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{\alpha} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{\alpha} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
设函数 $z=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且满足等式 $9 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$. 若变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x-3 y, \\ v=x+a y\end{array}\right.$ 可把上述等式化简为 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=0$, 则常数 $a=$
$\text{A.}$ -3 .
$\text{B.}$ -2 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的法线通过原点, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[f\left(\frac{x}{x+1}\right)-f\left(\frac{x+2}{x+1}\right)\right]=$
$\text{A.}$ -2 .
$\text{B.}$ -1 .
$\text{C.}$ 1.
$\text{D.}$ 2 .
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+\sin y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
求二元函数 $z=x^2+y^2-2 \ln |x|-2 \ln |y|(x \neq 0, y \neq 0)$ 的极值.
求曲面 $S: \frac{x^2}{2}+y^2+\frac{z^2}{4}=1$ 到平面 $\pi: 2 x+2 y+z+5=0$ 的最短距离．
设 $f(u, v)$ 是可微函数，常数 $a, b, c$ 不全为零，试证明曲面 $f(c x-a z, c y-b z)=0$ 上各点的切平面均平行于一个定向量．
讨论函数 $f(x, y)=|x \sin y|$ 在 $(0,0)$ 处的可微性
已知函数 $f(x, y)=x+y+x y$ ，曲线$C: x^2+y^2+x y=3 $
求 $f(x, y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数.
求以曲线 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 为准线，母线平行于直线 $x=y=z$ 的柱面方程．