单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
将函数 $f(x)=\frac{1}{3+4 x}$ 展开为 $x-1$ 的幂级数, 则该级数的收敛半径为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{4}$
设函数 $f(x)=1-\frac{x}{\pi}(0 \leq x \leq \pi)$ 以 $2 \pi$ 为周期的余弦函 数的和函数为 $S(x)$ ，则 $S\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ 和 $S(3 \pi)$ 的值分别为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2},-2$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2},-2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}, 0$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}, 0$
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1\right) \ln \left(1+\frac{1}{n^\alpha}\right)$ 绝对收敛, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n^{1-\sigma}}$ 条件收敛, 则
$\text{A.}$ $\alpha>\frac{5}{2}$.
$\text{B.}$ $2 < \alpha < 3$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} < \alpha < 1$.
$\text{D.}$ $\alpha < 3$.
下列数项级数哪个发散?
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2^n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n^2+1}{n^2}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n !}{n^n}$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x < \frac{1}{2}, \\ 1, & \frac{1}{2} \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的正弦级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n \sin n \pi x$的和函数为 $S(x)$ ，其中
$$
b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots),
$$
则 $S\left(\frac{7}{2}\right)$ 和 $S(7)$ 的值分别为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}, 0$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{4}, 0$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}, 1$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}, 1$
设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在点 $x=-1$ 处收敛，则在点 $x=2$ 处级数是
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 敛散不定
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n 3^n} x^n$ 的收敛域为
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ 的和函数是 $S(x)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $x_1>0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right), n=1,2, \cdots$. 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设函数 $f(x)=\pi-x$ ，其中 $x \in[0, \pi]$.
（1）将 $f(x)$ 展开为余弦级数，并在 $[-\pi, \pi]$ 上写出和函数表达式.
(2) 判断该级数在 $[0, \pi]$ 内是否一致收敛，并说明原因.
设 $f(x)= \begin{cases}x^2, & -1 \leq x \leq 0, \\ x-1,0 < x \leq 1,\end{cases}$
$$
a_n=\int_{-1}^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots .
$$
求函数 $f(x)$ 对应的以周期为 2 的傅里叶级数在 $[-1,1]$ 上的和函数并求 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n$.
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)(a>1)$ ；
判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^2+a^2}\right)$ 敛散性
求收敛域及收敛半径 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n \cdot 2^n}$ ；