单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\alpha(x)=\frac{1-x}{1+x}, \beta(x)=3-3 \sqrt[3]{x}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时 $($ )
$\text{A.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小, 但不是等价无穷小;
$\text{B.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$是等价无穷小;
$\text{C.}$ $\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 高阶的无穷小;
$\text{D.}$ $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小.
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leq 1 \\ a x+b, & x>1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处可导, 则 (
$\text{A.}$ $a=-1, b=2$
$\text{B.}$ $a=1, b=-1$
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos x}^1 e^{-t^2} d t}{x^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2 e}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 e}$
若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处取得极大值，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 且 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 或 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 不存在
已知 $f(x)$ 的导数是 $\sin x$, 则 $f(x)$ 的原函数是 ( )。
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{E.}$ $1$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f^{\prime}(1)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow} \frac{f(1+3 x)-f(1+x)}{x}=$
若 $\left\{\begin{array}{c}x=e^t \\ y=\csc t\end{array}\right.$, 则 $\frac{ d y}{d x}$.
设 $f(x)=x \sin x$, 则 $f^{(6)}(0)=$
若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0+\Delta x\right)}{\Delta x}=$
设函数 $y=e^{\pi-3 x} \cos 3 x$ ，则 $\left. d y\right|_{x=\frac{\pi}{3}}=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\cos x}{1+\sin ^2 x} d x=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{x-1}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sin x-1}{\arcsin x^2}$
设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，求 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{x=0}$
已知抛物线 $L: y=-x^2+4 x-3$ 。
(1) 求 $L$ 分别在点 $(0,-3)$ 和 $(3,0)$ 处的切线的方程;
(2) 求 (1) 中的两条切线与 $L$ 所围图形的面积。