一、单选题 （共 13 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
在曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 的所有切线中, 与平面 $x+2 y+z=4$ 平行的切线
$\text{A.}$ 只有 1 条.
$\text{B.}$ 只有 2条.
$\text{C.}$ 至少 3条.
$\text{D.}$ 不存在.
双纽线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$ 所围成的区域面积可用定积分表示为
$\text{A.}$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$
$\text{B.}$ $4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$
$\text{C.}$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2 \theta} d \theta$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2 \theta)^{2} d \theta$
设有直线 $L_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1}$ 与 $L_{2}:\left\{\begin{array}{l}x-y=6 \\ 2 y+z=3\end{array}\right.$, 则 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的夹角为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在是 $f(x, y)$ 在该点连续的
$\text{A.}$ 充分条件而非必要条件.
$\text{B.}$ 必要条件而非充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件.
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\pi: 4 x-2 y+z-2=0$, 则直线 $L(\quad)$
$\text{A.}$ 平行于 $\pi$.
$\text{B.}$ 在 $\pi$ 上.
$\text{C.}$ 垂直于 $\pi$.
$\text{D.}$ 与 $\pi$ 斜交.
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^{2}}$ 为某函数的全微分, 则 $a$ 等于 ( )
$\text{A.}$ $-1$.
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$处
$\text{A.}$ 连续，偏导数存在
$\text{B.}$ 连续，偏导数不存在
$\text{C.}$ 不连续，偏导数存在
$\text{D.}$ 不连续，偏导数不存在
设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义，且 $f_x^{\prime}(0,0)=3$ ， $f_y^{\prime}(0,0)=1$ ，则
$\text{A.}$ $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=3 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$
$\text{B.}$ 曲面 $z=f(x, y)$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的法向量为 $(3,1,1)$
$\text{C.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的切向量为 $(1,0,3)$
$\text{D.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的切向量为 $(3,0,1)$
考虑二元函数的下面 4 条性质:
(1) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，
(2) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的两个偏导数连续，
(3) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，
(4) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处两个偏导数存在.
若用 " $P \Rightarrow Q$ " 表示可由性质 $P$ 推出 $Q$ ，则有
$\text{A.}$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1)
$\text{B.}$ (3) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (1)
$\text{C.}$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1)
$\text{D.}$ (3) $\Rightarrow$ (1) $\Rightarrow$ (4)
设函数
$$
u(x, y)=\phi(x+y)+\phi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t ，
$$
其中函数 $\phi$ 具有二阶导数， $\psi$ 具有一阶导数，则必有
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
$$
(x, y, z) A\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=1
$$
在正交变换下的标准方程为双叶双曲面方程，则 $\boldsymbol{A}$ 的正特征值个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知 $f(x, y)=e^{\sqrt{x^2+y^4}}$ ，则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 都存在
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 都不存在
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲面 $z-\mathrm{e}^{2}+2 x y=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程为
设 $u=\mathrm{e}^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 则 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$ 处的值为
设一平面经过原点及点 $(6,-3,2)$, 且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直, 求此平面方程。
设 $\left(x_0, y_0\right)$ 是抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数 $a, b, c$ 应满足的关系是
对数螺线 $\rho=e^\theta$ 在点 $(\rho, \theta)=\left(e^{\frac{\pi}{2}}, \frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程为
设 $z=\frac{1}{x} f(x y)+y \varphi(x+y)$ ，其中 $f, \varphi$ 具有二阶连续导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 在点 $(1,-2,2)$ 处的法线方程为
设 $z=e^{-x}-f(x-2 y)$ ，且当 $y=0$ 时， $z=x^2$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设函数 $F(x, y)=\int_0^{x y} \frac{\sin t}{1+t^2} \mathrm{~d} t$ ，则
$$
\left.\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\right|_{\substack{x=0 \\ y=2}}=
$$
三、解答题 （ 共 18 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $u=f(x, y, z), \varphi\left(x^{2}, \mathrm{e}^{y}, z\right)=0, y=\sin x$, 其中 $f, \varphi$ 都具有一阶连续偏导数, 且 $\frac{\partial \varphi}{\partial z} \neq 0$, 求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$.
设函数 $z=f(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
求椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上某点 $M$ 处的切平面 $\pi$ 的方程，使平面 $\pi$ 过已知直线
$$
L: \frac{x-6}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{2 z-1}{-2} .
$$
求 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ ，其中函数 $u$ 由下列等式确定:
(1) $u+e^u=x y$;
(2) $u=e^{\frac{x}{y}}$
已知 $z=a^{\sqrt{x^2-y^2}}$ ，其中 $a>0, a \neq 1$ ，求 $\mathrm{d} z$.
设 $z=\sin (x y)+\varphi\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ，其中 $\varphi(u, v)$有二阶偏导数.
求曲面 $z=\frac{x^2}{2}+y^2$ 平行于平面 $2 x+2 y-z=0$ 的切平面方程.
设 $f(x, y)=\int_0^{x y} e^{-t^2} \mathrm{~d} t$ ，求
$\frac{x}{y} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\frac{y}{x} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} .$
设直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+y+b=0 \\ x+a y-z-3=0\end{array}\right.$ 在平面 $\pi$ 上，而平面 $\pi$与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切于点 $(1,-2,5)$ ，求 $a, b$ 之值.
设 $u=f(x, y, z)$ 有连续偏导数， $y=y(x)$ 和 $z=z(x)$分别由方程 $e^{x y}-y=0$ 和 $e^z-x z=0$ 所确定，求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$.
求直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi: x-y+2 z$ $-1=0$ 上的投影直线 $L_0$ 的方程，并求 $L_0$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面方程
设 $u=f(x, y, z)$ 有连续的一阶偏导数，又函数 $y=y(x)$及 $z=z(x)$ 分别由下列两式确定:
$$
\begin{aligned}
& e^{x y}-x y=2 \text { 和 } e^x=\int_0^{x-z} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t ， \\
& \text { 求 } \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text {. } \\
&
\end{aligned}
$$
已知曲线的极坐标方程是 $r=1-\cos \theta$ ，求该曲线上对应于 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处的切线与法线的直角坐标方程.
设 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left[x y, \frac{1}{2}\left(x^2-y^2\right)\right]$, 求 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$.
设 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$.
(1) 验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$
（2）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.
设函数 $u=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足等式
$$
4 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+12 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+5 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 ，
$$
确定 $a, b$ 的值，使等式在变换 $\xi=x+a y, \eta=x+b y$ 下化简为 $\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}=0$.
设函数 $z=f(x y, y g(x))$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导，且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$ ，求
$$
\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}} \text {. }
$$
已知函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1, y)=0$ ， $f(x, 1)=0$ ， $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=a$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} ，
$$
计算二重积分 $I=\iint_D x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.