一、单选题 （共 18 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 ${A}$ 为 $n$ 阶方阵,且 ${A}$ 的行列式 $|{A}|=a \neq 0$, 而 ${A}^{*}$ 是 ${A}$ 的伴随矩阵, 则 $\left|{A}^{*}\right|$ 等于
$\text{A.}$ $a$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}$.
$\text{C.}$ $a^{n-1}$.
$\text{D.}$ $a^{n}$.
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ $|A|^{n-1}$
$\text{B.}$ $|A|$
$\text{C.}$ $|A|^n$
$\text{D.}$ $|A|^{-1}$
设矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $R(A)=m < n ， E_m$ 为 $m$ 阶单位矩阵，下述结论中正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的任意 $m$ 个列向量必线性无关
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的任意一个 $m$ 阶子式不等于零
$\text{C.}$ 若矩阵 $B$ 满足 $B A=0$ ，则 $B=0$
$\text{D.}$ $A$ 通过初等行变换，必可以化为 $\left(E_m, 0\right)$ 的形式
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 非奇异 $(n \geq 2) ， A^*$ 是矩阵A 的伴随矩阵, 则
$\text{A.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|A|^{n-1} A$
$\text{B.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+1} A$
$\text{C.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$
$\text{D.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+2} \boldsymbol{A}$
设 $A$ 是任一 $n(n \geq 3)$ 阶方阵， $A^*$ 是其伴随矩阵，又 $k$ 为常数，且 $k \neq 0, \pm 1$ ，则必有 $(k A)^*=$
$\text{A.}$ $k A^*$
$\text{B.}$ $k^{n-1} A^*$
$\text{C.}$ $k^n A^*$
$\text{D.}$ $k^{-1} A^*$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 对应的伴随矩阵，分块矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)$, 则 $C$ 的伴随矩阵 $C^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| A^* & 0 \\ 0 & |B| B^*\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| B^* & 0 \\ 0 & |A| A^*\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & 0 \\ 0 & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & 0 \\ 0 & |A| B^*\end{array}\right)$
设矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$. 已知矩阵 $A$ 相似于 $B$ ，则秩 $(A-2 E)$ 与秩 $(A-E)$ 之和等于
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$ ，则满足 $A Q=C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为满足 $A B=O$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关.
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^* \neq 0$ ，若 $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的基础解系
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 仅含一个非零解向量
$\text{C.}$ 含有两个线性无关的解向量
$\text{D.}$ 含有三个线性无关的解向量
设 $A$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行
$\text{A.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $B^*$
$\text{B.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $B^*$
$\text{C.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $-B^*$
$\text{D.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $-B^*$
设 $A$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B ， A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵，则
$\text{A.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $B^*$
$\text{B.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $B^*$
$\text{C.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $-B^*$
$\text{D.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $-B^*$
设矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $A^*=A^T$ ，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵， $A^T$ 为 $A$ 的转置矩阵. 若 $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ 为三个相等的正数，则 $a_{11}$ 为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ ${C}={P}^T {A} {P}$
$\text{D.}$ ${C}={P A} {P}^T$
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位阵. 若 $A^3=0$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\text{B.}$ $E-A$ 不可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $E-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 不可逆
设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵。若 $|A|=2,|B|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 B^* \\ 2 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 B^* \\ 3 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 A^* \\ 2 B^* & O\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 A^* \\ 3 B^* & O\end{array}\right)$
设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵。若 $|A|=2,|B|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 B^* \\ 2 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 B^* \\ 3 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 A^* \\ 2 B^* & O\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 A^* \\ 3 B^* & O\end{array}\right)$
设 $A, P$ 均为 3 阶矩阵， $P^T$ 为 $P$ 的转置矩阵，且 $P^T A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 若
$$
P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right),
$$
则 $Q^T A Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
二、填空题 （共 14 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3), \boldsymbol{\beta}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$, 设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置, 则 $\boldsymbol{A}^{n}=$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right) ， A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left(A^*\right)^{-1}=$
设矩阵 $A, B$ 满足 $A^* B A=2 B A-8 E$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), E$ 为单位矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $B=$
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的元素全为 1 ，则 $A$ 的 $n$ 个特征值是
设 $a=(1,0,-1)^T$ ，矩阵 $A=\alpha \alpha^T, n$ 为正整数，则 $\left|a E-A^n\right|=$
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$, 则第四行各元素余子式之和的值为
设 $A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right) ， B=A^2-3 A+2 E$ ，则 $B^{-1}=$
设 $A, B$ 均为三阶矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵. 已知
$$
A B=2 A+B, B=\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 2 \\
0 & 4 & 0 \\
2 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$
则 $(A-E)^{-1}=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足
$$
A B A^*=2 B A^*+E,
$$
其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 是单位矩阵，则 $|B|=$
6、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足
$$
A B A^*=2 B A^*+E,
$$
其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 是单位矩阵，则 $|B|=$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=P^{-1} A P$ ，其中 $P$ 为三阶可逆矩阵，则 $B^{2004}-2 A^2=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^3$ 的秩为
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,3, \lambda$. 若行列式 $|2 A|=-48$ ，则 $\boldsymbol{\lambda}=$
三、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知 ${A} {P}={P B}$, 其中 ${B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), {P}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$, 求 ${A}$ 及 ${A}^{5}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零方阵, $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵, 当 $\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 时, 证明 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$.
已知三阶矩阵 $A$ 的逆矩阵为 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$ ，试求伴随矩阵 $A^*$ 的逆矩阵.
设 $A$ 为 $n$ 阶非奇异矩阵， $\alpha$ 为 $n$ 维列向量， $b$ 为常量，记分块矩阵 $P=\left[\begin{array}{cc}E & 0 \\ -\alpha^T A^* & |A|\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{ll}A & \alpha \\ \alpha^T & b\end{array}\right]$, 其中 $A^*$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵.
(1) 计算并化简 $P Q$ ；
(2) 证明: 矩阵 $Q$ 可逆的充分必要条件是 $\alpha^T A^{-1} \alpha \neq b$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$, 矩阵 $X$ 满足
$$
A^* X=A^{-1}+2 X,
$$
其中 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{X}$.
已知 $A, B$ 为 3 阶矩阵，且满足 $2 A^{-1} B=B-4 E$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵.
(1) 证明: 矩阵 $A-2 E$ 可逆;
(2) 若 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$.
设 $\alpha$ 为 3 维列向量， $\alpha^T$ 是 $\alpha$ 的转置，若
$$
\alpha \alpha^T=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right) \text {. }
$$
则 $\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\alpha}=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$