解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 对 $(-\infty,+\infty)$ 内一切 $x$ 有 $f\left(x^2\right)=f(x)$, 且 $f(x)$ 在 $x=0, x=1$ 连续. 证明: $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上为常数.
设 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有定义, 且 $e^{x f(x)}$ 和 $e^{-f(x)}$ 都在 $(0,1)$ 内单调不减, 求证: $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续.