普通高校《数学分析Ⅱ》下学期期末考试试题与答案

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普通高校《数学分析Ⅱ》下学期期末考试试题与答案

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

f (x)

在

[a, b]

上可积，那么

A.

f (x)

在

[a, b]

上有界

B.

f (x)

在

[a, b]

上连续

C.

f (x)

在

[a, b]

上单调

D.

f (x)

在

[a, b]

上只有一个间断点

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2. 函数

f (x)

在

[a, b]

上连续, 则在

[a, b]

上有

A.

\frac{d}{d x} \int_{a}^{b} f (x) d x = f (x)

B.

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)

C.

\frac{d}{d x} \int_{x}^{b} f (t) d t = f (- x)

D.

\frac{d}{d x} \int_{x}^{b} f (t) d t = f (x)

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3. 在

[a, + \infty]

上恒有

f (x) \geq g (x)

, 则

A.

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x

收敛

\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x

也收敛

B.

\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x

发散

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x

也发散

C.

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x

和

\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x

同敛散

D.

无法判断

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4. 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛是

()

对

p = 1, 2 \dots, lim_{n \to \infty} (a_{n + 1} + a_{n + 2} + . . . + a_{n + p}) = 0

A.

充分条件

B.

必要条件

C.

充分必要条件

D.

无关条件

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5. 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{α + 1}}

收敛，则必有

A.

a \leq 0

B.

a \geq 0

C.

a < 0

D.

a > 0

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f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x)

在

[a, b]

一致收敛，且

a_{n} (x)

可导

(n = 1, 2 \dots)

，那么

A.

f (x)

在

[a, b]

可导, 且

f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a^{'}_{n} (x)

B.

f (x)

在

[a, b]

可导, 但

f^{'} (x)

不一定等于

\sum_{n = 1}^{\infty} a^{'}_{n} (x)

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{'} (x)

点点收敛，但不一定一致收敛

D.

s u m_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{'} (x)

不一定点点收敛

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7. 下列命题正确的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x)

在

[a, b]

绝对收敛必一致收敛

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x)

在

[a, b]

一致收敛必绝对收敛

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x)

在

[a, b]

条件收敛必收敛

D.

若

lim_{n \to \infty} | a_{n} (x) | = 0

, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x)

在

[a, b]

必绝对收敛

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\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (1 - \frac{1}{n}) x^{n}

的收敛域为

A.

(- 1, 1)

B.

(- 1, 1]

C.

[- 1, 1]

D.

[- 1, 1)

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9. 下列命题正确的是

A.

重极限存在，累次极限也存在并相等

B.

累次极限存在，重极限也存在但不一定相等

C.

重极限不存在, 累次极限也不存在

D.

重极限存在，累次极限也可能不存在

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10. 函数

f (x, y)

在

(x_{0}, y_{0})

可偏导, 则

A.

f (x, y)

在

(x_{0}, y_{0})

可微

B.

f (x, y)

在

(x_{0}, y_{0})

连续

C.

f (x, y)

在

(x_{0}, y_{0})

在任何方向的方向导数均存在

D.

以上全不对

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二、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11.

lim_{n \to \infty} \frac{1^{p} + 2^{p} + . . . + n^{p}}{n^{p + 1}} (p > 0)

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12. 计算由曲线

y = x^{2}

和

x = y^{2}

围成的面积

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13. 求极限

lim_{(x, y) \to (0, 0)} (\frac{x^{2} + y^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}} - 1} + y \sin \frac{1}{x})

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14. 已知

z = f (x, \frac{x}{y})

，求

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}

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15. 计算

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{n}{2^{n}} x^{n}

的收敛半径和收敛域

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16. 讨论

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{1 - p}}{| x - 1 |^{p + q}} d x

的敛散性

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17. 判断

\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 1})

的敛散性

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18. 判断

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} \sin n x}{n^{2} + 1}

的一致收敛性

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19. 设

f (x)

是以

T

为周期的函数, 且在

[0, T]

上可积, 证明

\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x

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20. 设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{α_{0}}}

收敛, 则当

α > α_{0}

时, 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{α}}

也收敛

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