单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，那么
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调
$\text{D.}$ $ f(x)$ 在 $[a, b]$ 上只有一个间断点
函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则在 $[a, b]$ 上有
$\text{A.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^b f(x) d x=f(x)$
$\text{B.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^x f(t) d t=f(x)$
$\text{C.}$ $\frac{d}{d x} \int_x^b f(t) d t=f(-x)$
$\text{D.}$ $\frac{d}{d x} \int_x^b f(t) d t=f(x)$
在 $[a,+\infty]$ 上恒有 $f(x) \geq g(x)$, 则
$\text{A.}$ $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 收敛 $\int_a^{+\infty} g(x) d x$ 也收敛
$\text{B.}$ $\int_a^{+\infty} g(x) d x$ 发散 $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 也发散
$\text{C.}$ $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 和 $\int_a^{+\infty} g(x) d x$ 同敛散
$\text{D.}$ 无法判断
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛是 $(\quad)$ 对 $p=1,2 \cdots, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p}\right)=0$
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 无关条件
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha+1}}$ 收敛，则必有
$\text{A.}$ $a \le 0$
$\text{B.}$ $a \ge 0$
$\text{C.}$ $a < 0$
$\text{D.}$ $a > 0$
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收敛，且 $a_n(x)$ 可导 $(n=1,2 \cdots)$ ，那么
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a^{\prime}{ }_n(x)$
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, 但 $f^{\prime}(x)$ 不一定等于 $\sum_{n=1}^{\infty} a^{\prime}{ }_n(x)$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{\prime}(x)$ 点点收敛，但不一定一致收敛
$\text{D.}$ $sum_{n=1}^{\infty} a_n^{\prime}(x)$ 不一定点点收敛
下列命题正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对收敛必一致收敛
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收敛必绝对收敛
$\text{C.}$ $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)$ 在 $[a, b]$ 条件收敛必收敛
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_n(x)\right|=0$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)$ 在 $[a, b]$ 必绝对收敛
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\frac{1}{n}\right) x^n$ 的收敛域为
$\text{A.}$ $(-1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,1]$
$\text{C.}$ $[-1,1]$
$\text{D.}$ $[-1,1)$
下列命题正确的是
$\text{A.}$ 重极限存在，累次极限也存在并相等
$\text{B.}$ 累次极限存在，重极限也存在但不一定相等
$\text{C.}$ 重极限不存在, 累次极限也不存在
$\text{D.}$ 重极限存在，累次极限也可能不存在
函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 可偏导, 则
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 在任何方向的方向导数均存在
$\text{D.}$ 以上全不对
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^p+2^p+...+n^p}{n^{p+1}}(p>0)$
计算由曲线 $y=x^2$ 和 $x=y^2$ 围成的面积
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+x^2+y^2}-1}+y \sin \frac{1}{x}\right)$
已知 $z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
计算 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{2^n} x^n$ 的收敛半径和收敛域
讨论 $\int_0^{+\infty} \frac{x^{1-p}}{|x-1|^{p+q}} d x$ 的敛散性
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)$ 的敛散性
判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin n x}{n^2+1}$ 的一致收敛性
设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数, 且在 $[0, T]$ 上可积, 证明
$$
\int_a^{a+T} f(x) d x=\int_0^T f(x) d x
$$
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{n^{\alpha_0}}$ 收敛, 则当 $\alpha>\alpha_0$ 时, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{n^\alpha}$ 也收敛