填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $E=\{x-[x] \mid x \in R$, 则 $\sup E =， \inf E=$ ；
设 $f^{\prime}(5)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{f(x)-f(5)}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}=$;
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin a x, & x \leq 0, \\ \ln (1+x)+b, & x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导, 则 $a=$,$b=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算：$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$;
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+...+ \sqrt{n}}{(\sqrt{n})^3}$;
计算 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin x-\sin a}{x-a}$
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ 。
计算导数 $ f(x)=\sqrt{x^2+1}-\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \text {, 求 } f^{\prime}(x) $
计算 求由方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 t \\ y=a \sin ^3 t\end{array}\right.$ 表示的函数的二阶导数 ;
设 $y=\left(3 x^2-2\right) \sin 2 x$, 求 $y^{(100)}$ 。
设 $a>0,\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_0>0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right), \quad n=0,1,2 ...
$$
证明: （1）$\left\{x_n\right\}$ 收敛, （2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 。
求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 过其上点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程。
利用 Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必收敛。
证明：设 $\left\{x_n\right\}$ 单调有界，不妨设 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加。
设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上 $(a>0)$ 满足:$\forall x, y \in[a,+\infty),|f(x)-f(y)| \leq K|x-y|$（ $K \geq 0$ 为常数）。
证明：
(1) $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界;
(2) $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
设 $a_1, a_2, ... a_n$ 为实常数, 证明:$ f(x)= a_1 \cos x+a_2 \cos 2 x+ ...+a_n \cos n x$
在 $(0, \pi)$ 内必有零点。