解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图, 在四棱锥 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是正方形, $A D=P D=2, P A=2 \sqrt{2}, \angle P D C=120^{\circ}$, 点 $E$ 为线段 $P C$ 的中点, 点 $F$ 在线段 $A B$上.
(1)若 $A F=\frac{1}{2}$, 求证: $C D \perp E F$;
(2) 设平面 $D E F$ 与平面 $D P A$ 所成二面角的平面角为 $\theta$, 试确定点 $F$ 的位置, 使得 $\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{4}$
如图, 已知三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的底面是边长为 1 的正三角形, $A_1 A=A_1 C$, 侧面 $A_1 A C C_1 \perp$ 底面 $A B C$, 直线 $A_1 B$ 与平面 $A_1 A C C_1$ 所成角为 $60^{\circ}$.
(1) 证明: $A_1 A \perp A_1 C$;
(2) 求二面角 $A-A_1 B-C$ 的余弦值.
如图, 已知平行四边形 $A B C D$ 中, $A B \perp A C, A B=1, A C=2$,将 $\triangle A B C$ 沿 $A C$ 边折起，使得平面 $A B C \perp$平面 $A C D, E 、 F$ 分别是 $A C 、 B C$ 中点, $G$ 是边 $B D$ 上一点, $F G / /$ 平面 $A C D$.
( I ) 求证: $G$ 为 $B D$ 的中点;
(II) 求二面角 $A-G C-D$ 的余弦值;
(III) 过 $E$ 作 $E H \perp B C$, 垂足为 $H$,在边 $B D$ 上是否存在一点 $P$, 使得 $B C \perp$ 平面 $E H P$ ? 若存在, 求 $\frac{B P}{B D}$ 的值; 若不存在,说明理由.
如图, 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle$ $A B C=120^{\circ}, E, F$ 是平面 $A B C D$ 同一侧的两点, $B E \perp$ 平面 $A B C D$, $\mathrm{DF} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{BE}=2 \mathrm{DF}, \mathrm{AE} \perp \mathrm{EC}$.
(1) 证明: 平面 $\mathrm{AEC} \perp$ 平面 AFC ;
(2) 求直线 $A E$ 与直线 $C F$ 所成角的余弦值.
