如图, 在四棱锥 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是正方形, $A D=P D=2, P A=2 \sqrt{2}, \angle P D C=120^{\circ}$, 点 $E$ 为线段 $P C$ 的中点, 点 $F$ 在线段 $A B$上.
(1)若 $A F=\frac{1}{2}$, 求证: $C D \perp E F$;
(2) 设平面 $D E F$ 与平面 $D P A$ 所成二面角的平面角为 $\theta$, 试确定点 $F$ 的位置, 使得 $\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{4}$