如图, 已知三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的底面是边长为 1 的正三角形, $A_1 A=A_1 C$, 侧面 $A_1 A C C_1 \perp$ 底面 $A B C$, 直线 $A_1 B$ 与平面 $A_1 A C C_1$ 所成角为 $60^{\circ}$.
(1) 证明: $A_1 A \perp A_1 C$;
(2) 求二面角 $A-A_1 B-C$ 的余弦值.
(1) 证明: $A_1 A \perp A_1 C$;
(2) 求二面角 $A-A_1 B-C$ 的余弦值.