如图, 已知平行四边形 $A B C D$ 中, $A B \perp A C, A B=1, A C=2$,将 $\triangle A B C$ 沿 $A C$ 边折起，使得平面 $A B C \perp$平面 $A C D, E 、 F$ 分别是 $A C 、 B C$ 中点, $G$ 是边 $B D$ 上一点, $F G / /$ 平面 $A C D$.
( I ) 求证: $G$ 为 $B D$ 的中点;
(II) 求二面角 $A-G C-D$ 的余弦值;
(III) 过 $E$ 作 $E H \perp B C$, 垂足为 $H$,在边 $B D$ 上是否存在一点 $P$, 使得 $B C \perp$ 平面 $E H P$ ? 若存在, 求 $\frac{B P}{B D}$ 的值; 若不存在,说明理由.
( I ) 求证: $G$ 为 $B D$ 的中点;
(II) 求二面角 $A-G C-D$ 的余弦值;
(III) 过 $E$ 作 $E H \perp B C$, 垂足为 $H$,在边 $B D$ 上是否存在一点 $P$, 使得 $B C \perp$ 平面 $E H P$ ? 若存在, 求 $\frac{B P}{B D}$ 的值; 若不存在,说明理由.