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普通高等学校《高等数学上》第一学期期末考试模拟试卷

发布日期 2024/8/21 5:31:22      查看 0      加入组卷      查看作者     
单选题
当 $x \rightarrow x_0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 都是无穷小, 则当 $x \rightarrow x_0$ 时 ( ) 不一定是无穷小。
$\text{A.}$ $|\alpha(x)|+|\beta(x)|$ $\text{B.}$ $\alpha^2(x)+\beta^2(x)$ $\text{C.}$ $\ln [1+\alpha(x) \cdot \beta(x)]$ $\text{D.}$ $\frac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$
极限 $\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}$ 的值是
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ $e$ $\text{C.}$ $e^{\cot a}$ $\text{D.}$ $e^{\tan a}$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x+e^{2 a x}-1}{x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$.
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 0 $\text{C.}$ e $\text{D.}$ -1
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导, 那么 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-2 h)}{h}=$
$\text{A.}$ $3 f^{\prime}(a)$ $\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$ $\text{C.}$ $f^{\prime}(a)$ $\text{D.}$ $\frac{1}{3} f^{\prime}(a)$
填空题
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+a)-\ln a}{x} \quad(a>0)$ 的值是
由 $e^{x y}+y \ln x=\cos 2 x$ 确定函数 $y(x)$, 则导函数 $y^{\prime}=$
直线 $l$ 过点 $M(1,2,3)$ 且与两平面 $x+2 y-z=0,2 x-3 y+5 z=6$ 都平行, 则直线 $l$ 的方程为
求函数 $y=2 x-\ln (4 x)^2$ 的单调递增区间为
解答题
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 且$F(x)=\int_a^x(x-t) f(t) d t \quad x \in[a, b]$, 试求出 $F^{\prime \prime}(x)$ 。
求 $\int x \frac{\cos x}{\sin ^3 x} d x$.
计算 $\int_2^2 \frac{d x}{x \sqrt{x^2-1}}$
求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 可导, 且 $2 f(0)=\int_0^2 f(x) d x$ 。 证明:
(1) $\exists \eta \in(0,2)$, 使 $f(\eta)=f(0)$;
(2) 对任意实数 $\lambda, \exists \xi \in(0,2)$, 使 $f^{\prime}(\xi)+\lambda(f(\xi)-f(0))=0$

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