普通高等学校《高等数学上》第一学期期末考试模拟试卷

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普通高等学校《高等数学上》第一学期期末考试模拟试卷

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x \to x_{0}

时，

α (x), β (x)

都是无穷小, 则当

x \to x_{0}

时 ( ) 不一定是无穷小。

A.

| α (x) | + | β (x) |

B.

α^{2} (x) + β^{2} (x)

C.

\ln [1 + α (x) \cdot β (x)]

D.

\frac{α^{2} (x)}{β (x)}

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2. 极限

lim_{x \to a} {(\frac{\sin x}{\sin a})}^{\frac{1}{x - a}}

的值是

A.

B.

e

C.

e^{\cot a}

D.

e^{\tan a}

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f (x) = {\begin{cases} \frac{\sin x + e^{2 a x} - 1}{x} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续, 则

a =

A.

B.

C.

D.

-1

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4. 设

f (x)

在点

x = a

处可导, 那么

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - 2 h)}{h} =

A.

3 f^{'} (a)

B.

2 f^{'} (a)

C.

f^{'} (a)

D.

\frac{1}{3} f^{'} (a)

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 极限

lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + a) - \ln a}{x} (a > 0)

的值是

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6. 由

e^{x y} + y \ln x = \cos 2 x

确定函数

y (x)

, 则导函数

y^{'} =

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7. 直线

l

过点

M (1, 2, 3)

且与两平面

x + 2 y - z = 0, 2 x - 3 y + 5 z = 6

都平行, 则直线

l

的方程为

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8. 求函数

y = 2 x - \ln (4 x)^{2}

的单调递增区间为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}

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10. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续, 且

F (x) = \int_{a}^{x} (x - t) f (t) d t x \in [a, b]

, 试求出

F^{''} (x)

。

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11. 求

\int x \frac{\cos x}{\sin^{3} x} d x

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12. 计算

\int_{2}^{2} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2} - 1}}

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13. 求函数

y = \frac{2 x}{1 + x^{2}}

的极值与拐点.

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14. 设

f (x)

在

[0, 2]

上连续, 在

(0, 2)

可导, 且

2 f (0) = \int_{0}^{2} f (x) d x

。证明:
(1)

\exists η \in (0, 2)

, 使

f (η) = f (0)

;
(2) 对任意实数

λ, \exists ξ \in (0, 2)

, 使

f^{'} (ξ) + λ (f (ξ) - f (0)) = 0

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