北京理工大学珠海学院2022第二学期《高等数学A2》期末试卷（面向计算机、机械、化工专业）

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北京理工大学珠海学院2022第二学期《高等数学A2》期末试卷（面向计算机、机械、化工专业）

一、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设向量

a = (2, 0, - 2), b = (3, - 4, 0)

, 则

a \times b =

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2. 设

u = x^{2} + x y^{2} + y^{3}

. 则

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} =

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3. 椭球面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 15

在点

(1, - 1, 2)

处的切平面方程为

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4. 设

D : y = x, y = - x, x = 2

直线所围平面区域.则

\iint_{D} (y + 2) d σ =

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5. 设

L :

点

(0, 0)

到点

(1, 1)

的直线段.则

\int_{L} x^{2} d s =

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二、解答题（共 14 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 设

z = x^{2} y + \ln (x + y) + \tan 2

, 求

d z

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7. 设

u = f (4 x y, 2 x - 3 y)

, 其中

f

一阶偏导连续, 求

\frac{\partial u}{\partial y}

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8. 设

z = z (x, y)

由

x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y z = 100

确定.求

\frac{\partial z}{\partial y}

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9. 求函数

f (x, y) = x^{3} - y^{3} + 3 x^{2} + 3 y^{2} - 9 x

的极值

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10. 求二重积分

\iint_{D} e^{x^{2} + y^{2}} d σ

, 其中 D:

1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9

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11. 求三重积分

∭_{Ω} x y z^{2} d V, Ω

: 平面

x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1

所围区域

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12. 求

\int_{L} y d x - x d y, L

: 圆周

x^{2} + y^{2} = 9

, 逆时针

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13. 设

\sum

: 平面

x + 3 y + z = 1

位于第一卦限部分. 试求曲面积分

\iint_{Σ} x d S

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14. 设

\sum

是

z = x^{2} + y^{2}

位于平面

z = 4, z = 9

之间部分且取下侧, 求

\iint_{Σ} z d x d y

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15. 设

\sum

是锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与平面

z = 1

所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求

\iint_{Σ} 3 x d y d z - 2 y z d z d x + z^{2} d x d y

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16. 判断正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n} (n + 1)}{n!}

的敛散性。

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17. 试将函数

f (x) = \frac{1}{1 + x}

(1) 展开成 x 的幂级数
(2) 展开成

x - 1

的幂级数.

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18. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}

的收敛域及和函数.

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19. 设

f (x)

连续,

Ω : x^{2} + y^{2} \leq u, 0 \leq z \leq \frac{1}{π}

.
(1) 试用柱面坐标化简三重积分

∭_{Ω} [f (x^{2} + y^{2}) + 1] d v

.
(2) 若

f (u) = ∭_{Ω} [f (x^{2} + y^{2}) + 1] d v

. 试求

f (u)

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