填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设向量 $\mathrm{a}=(2,0,-2), \mathrm{b}=(3,-4,0)$, 则 $\mathrm{a} \times \mathrm{b}=$
设 $\mathrm{u}=x^2+x y^2+y^3$. 则 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=$
椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=15$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的切平面方程为
设 $\mathrm{D}: \mathrm{y}=\mathrm{x}, \mathrm{y}=-\mathrm{x}, \mathrm{x}=2$ 直线所围平面区域.则 $\iint_D(y+2) d \sigma=$
设 $\mathrm{L}:$ 点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的直线段.则 $\int_L x^2 d s=$
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=x^2 y+\ln (x+y)+\tan 2$, 求 $\mathrm{d} z$
设 $u=f(4 x y, 2 x-3 y)$, 其中 $f$ 一阶偏导连续, 求 $\frac{\partial u}{\partial y}$
设 $z=z(x, y)$ 由 $x^2+y^2+z^2-x y z=100$ 确定.求 $\frac{\partial z}{\partial y}$
求函数 $f(x, y)=x^3-y^3+3 x^2+3 y^2-9 x$ 的极值
求二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 D: $1 \leq x^2+y^2 \leq 9$
求三重积分 $\iiint_{\Omega} x y z^2 d V, \Omega$ : 平面 $\mathrm{x}=0, \mathrm{x}=3, \mathrm{y}=0, \mathrm{y}=2, \mathrm{z}=0, \mathrm{z}=1$ 所围区域
求 $\int_L y d x-x d y, \mathrm{~L}$ : 圆周 $x^2+y^2=9$, 逆时针
设 $\sum$ : 平面 $x+3 y+z=1$ 位于第一卦限部分. 试求曲面积分 $\iint_{\Sigma} x d S$
设 $\sum$ 是 $z=x^2+y^2$ 位于平面 $z=4, z=9$ 之间部分且取下侧, 求 $\iint_{\Sigma} z d x d y$
设 $\sum$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $\mathrm{z}=1$ 所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求
$$
\iint_{\Sigma} 3 x d y d z-2 y z d z d x+z^2 d x d y
$$
判断正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(n+1)}{n!}$ 的敛散性。
试将函数 $f(x)=\frac{1}{1+x}$
(1) 展开成 x 的幂级数
(2) 展开成 $\mathrm{x}-1$ 的幂级数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛域及和函数.
设 $f(x)$ 连续, $\Omega: x^2+y^2 \leq u, 0 \leq z \leq \frac{1}{\pi}$.
(1) 试用柱面坐标化简三重积分 $\iiint_{\Omega}\left[f\left(x^2+y^2\right)+1\right] d v$.
(2) 若 $f(u)=\iiint_{\Omega}\left[f\left(x^2+y^2\right)+1\right] d v$. 试求 $f(u)$.