填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
确定常数 $b$, 使得直线 $y=9 x+b$ 为曲线 $y=x^3-3 x$ 的切线;
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^2+3 x+1\right)}{\ln \left(x^3+2 x+1\right)}$;
求函数 $f(x)=(x+1) \ln (x+1)$ 的单调区间和极值;
求不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{4-x^4}} \mathrm{~d} x$;
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x,\end{array}\right.$ 求 $\int_2^4 f(x-2) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$;
问反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos ^3 x}{\left(x+2 \mathrm{e}^{-3 x}\right) \sqrt{1+x}} \mathrm{~d} x$ 是否收敛? 请说明理由;
求矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 5 & -4 \\ 1 & -4 & 6\end{array}\right)$ 的逆矩阵;
求经过原点, 且与两平面 $x+2 y+3 z-13=0$ 和 $3 x+y-z-1=0$ 都垂直的平面的方程。
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
问方程 $2 x^3-3 x^2+\frac{1}{2}=0$ 有几个实根？请说明理由。
要制作一个体积为 $V$ 的圆柱形无盖铁桶, 问如何确定其底面半径和高才能用料最省?
设函数 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续二阶导数, 且满足方程
$$
x f^{\prime}(x)=f(x)+140 x^6 \text { 。 }
$$
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 问曲线 $y=f(x)$ 是否有拐点? 请说明理由。
(3) 是否存在函数 $f$, 它在开区间 $(0,1)$ 上大于零, 并满足上面的方程, 且曲线 $y=f(x)(x \in[0,1])$ 与直线 $x=1$ 和 $y=0$ 所围的图形 $D$ 的面积为 2 ? 请说明理由。
若 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^4+3}-\left[A+B(x-1)+C(x-1)^2\right]}{(x-1) \sin (x-1)}=0$, 求常数 $A, B, C$ 。
证明: $\int_0^1\left(1+\sin \frac{\pi}{2} x\right)^n \mathrm{~d} x>\frac{2^{n+1}-1}{n+1} \quad(n=1,2, \cdots)$;
(2) 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\int_0^1\left(1+\sin \frac{\pi}{2} x\right)^n \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}}$ 。
设过点 $(-1, c, c)$ 的直线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}c x+y+z=c \text {, } \\ x-c y+c z=-1,\end{array}\right.$ 其中 $c$ 为实数。
（1）求直线 $L$ 的对称式方程;
（2）当 $c$ 连续变化时， $L$ 随之移动而生成曲面 $\Sigma$, 求曲面 $\Sigma$ 与平面 $z=t$ 的交线的方程, 其中 $t$ 为常数;
（3）求由曲面 $\Sigma$, 平面 $z=0$ 和 $z=1$ 所围立体的体积。