单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=x^2(x-1)(x-2)$ ，则 $f^{\prime}(x)$ 的零点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
如图，曲线方程为 $y=f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续导数，则定积分 $\int_0^a x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 在几何上表示
$\text{A.}$ 曲边梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{B.}$ 梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{C.}$ 曲边三角形 $A C D$ 面积
$\text{D.}$ 三角形 $A C D$ 面积
在下列微分方程中，以 $y=C_1 e^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x$ $\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意的常数) 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$
判定函数 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x ， f(x)$ 间断点的情况
$\text{A.}$ 有一个可去间断点，一个跳跃间断点
$\text{B.}$ 有一跳跃间断点，一个无穷间断点
$\text{C.}$ 有两个无穷间断点
$\text{D.}$ 有两个跳跃间断点
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界， $\left\{x_n\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
设函数 $f$ 连续，若 $F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \frac{f\left(x^2+y^2\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& D_{u v}: x^2+y^2=1, x^2+y^2=u^2, y=0, y=x \arctan v \\
& (u>1, v>0) \text { ，则 } \frac{\partial F}{\partial u}=
\end{aligned}
$$
$\text{A.}$ $v f\left(u^2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{v}{u} f\left(u^2\right)$
$\text{C.}$ $v f(u)$
$\text{D.}$ $\frac{v}{u} f(u)$
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位阵. 若 $A^3=0$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\text{B.}$ $E-A$ 不可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $E-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 不可逆
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则在实数域上与 $A$ 合同的矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos [x f(x)]}{\left(e^{x^2}-1\right) f(x)}=1$ ，则 $f(0)=$
微分方程 $\left(y+x^2 e^{-x}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 的通解是
曲线 $\sin (x y)+\ln (y-x)=x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
曲线 $y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为
设 $z=\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,3, \lambda$. 若行列式 $|2 A|=-48$ ，则 $\boldsymbol{\lambda}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$.
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=\int_0^{t^2} \ln (1+u) \mathrm{d} u\end{array}\right.$ 确定，其中 $x(t)$ 是初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}-2 t e^{-x}=0 \\ \left.x\right|_{t=0}=0\end{array}\right.$ 的解，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
计算 $\int_0^1 \frac{x^2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
计算 $\iint_D \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$
设 $f(x)$ 是区间 $[0,+\infty)$ 上具有连续导数的单调增加函数，且 $f(0)=1$. 对任意的 $t \in[0,+\infty)$ ，直线 $x=0, x=t$ ，曲线 $y=f(x)$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 $f(x)$ 的表达式.
(1) 证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\eta \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\eta)(b-a) .
$$
(2) 若函数 $\varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足
$$
\varphi(2)>\varphi(1), \varphi(2)>\int_2^3 \varphi(x) \mathrm{d} x ，
$$
则至少存在一点 $\xi \in(1,3)$, 使得 $\varphi^{\prime \prime}(\xi) < 0$.
求函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在约束条件 $z=x^2+y^2$ 和 $x+y+z=4$ 下的最大值和最小值.
设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccccccc}
2 a & 1 & & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}, x=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
(1) 证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$;
(2) 当 $a$ 为何值时，该方程组有惟一解，并求 $x_1$.
(3) 当 ${a}$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $-1,1$的特征向量，向量 $\alpha_3$ 满足 $A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3$.
(1) 证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关；
(2) 令 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，求 $P^{-1} A P$.