设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=\int_0^{t^2} \ln (1+u) \mathrm{d} u\end{array}\right.$ 确定，其中 $x(t)$ 是初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}-2 t e^{-x}=0 \\ \left.x\right|_{t=0}=0\end{array}\right.$ 的解，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$