(1) 证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\eta \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\eta)(b-a) .
$$
(2) 若函数 $\varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足
$$
\varphi(2)>\varphi(1), \varphi(2)>\int_2^3 \varphi(x) \mathrm{d} x ，
$$
则至少存在一点 $\xi \in(1,3)$, 使得 $\varphi^{\prime \prime}(\xi) < 0$.