单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵, $B$ 是 4 阶方阵, 且行列式 $|A|=1|B|=2$, 则 ||$B|A|=$
$\text{A.}$ -8
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 8
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶方阵, $A B=B A, A C=C A$, 则 $A B C=$
$\text{A.}$ $A C B$
$\text{B.}$ $B C A$
$\text{C.}$ $C A B$
$\text{D.}$ $C B A$
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=4 \\ 2 x_1+2 a x_2=4 \\ x_1+a x_2+x_3=3\end{array}\right.$ 无解, 则数 $a=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
下列命题中错误的是
$\text{A.}$ 含有零向量的向量组是线性相关的;
$\text{B.}$ 由 3 个 2 维向量组成的向量组是线性相关的;
$\text{C.}$ 由单个非零向量组成的向量组是线性相关的:
$\text{D.}$ 两个成比例的向量组成的向量组是线性相关的。
$n$ 阶方降 $A$ 能与对角矩阵相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $A$ 具有 $n$ 个线性无关的特征向量
$\text{B.}$ $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等
$\text{C.}$ $A$ 是实对称矩阵
$\text{D.}$ $A$ 的特征向量两两正交
下列集合构成向量空间的是
$\text{A.}$ $V_1=\{x \mid A x=b\}$
$\text{B.}$ $V_2=\left\{x=\left(1, x_2, x_3\right)^T \mid x_2, x_3 \in R\right\}$
$\text{C.}$ $V_3=\{x \mid A x=O\}$
$\text{D.}$ $V_4=\left\{x=\left(x_1, x_2, x_3\right)^T \mid x_1+x_2+x_3=1\right\}$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在五阶行列式中项 $a_{35} a_{53} a_{12} a_{41} a_{24}$ 的符号为
设行列式 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=2$, 则 $\left|\begin{array}{lll}2 a_1+b_1 & 3 b_1 & c_1 \\ 2 a_2+b_2 & 3 b_2 & c_2 \\ 2 a_3+b_3 & 3 b_3 & c_3\end{array}\right|=$
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $A^T B=$
设矩阵 $A$ 为 3 阶矩阵, 若已知 $|\boldsymbol{A}|=-3$, 则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=$
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=0 \\ 2 x_1-x_2+3 x_3=0\end{array}\right.$ 的基础解系所含解向量的个数为
已知向量 $\alpha=(1,2,-2)^T, \beta=(2, t, 3)^T$, 且 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交, 则 $t=$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1{ }^2+3 x_3{ }^2-4 x_1 x_2+2 x_1 x_3-8 x_2 x_3$, 则二次型 $f$ 的矩阵是
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1\end{array}\right|$ 的值
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$ 的逆矩阵.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right)$, 求 $X$, 使其满足方程 $A X=B$,
用初等行变换解求解下列非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1+x_2-3 x_3-x_4=1 \\
3 x_1+4 x_2-3 x_3+4 x_4=4 \\
x_1+2 x_2+2 x_3+-8 x_4=0
\end{array}\right.
$$
(要求写出通解的向量形式).
求向量组 $\alpha_1=(2,1,4,3)^T, \alpha_2=(-1,1,-6,6)^T, \alpha_3=(1,1,-2,7)^T$, $\alpha_4=(2,4,4,9)^T$ 的秩及一个极大无关组.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right)$, 求一个正交矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P=\Lambda$ 为对角阵.
设矩阵 $\boldsymbol{A} 、 \boldsymbol{B} 、 \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶方阵, 满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$, 且 $\boldsymbol{B}$ 可逆, 证明：矩阵 $\mathrm{C}$ 的列向量组与矩阵 $\mathrm{A}$ 的列向量组等价。