单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 4 阶方阵, 且 $|A|=2$, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 16
设 $A, B$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵, 则 $\left|-\left(\begin{array}{cc}A^T & O \\ O & B^*\end{array}\right)\right|=$
$\text{A.}$ $|A||B|^{n-1}$;
$\text{B.}$ $-|A||B|^{n-1}$;
$\text{C.}$ $(-1)^n|A||B|^{n-1}$;
$\text{D.}$ $|A|\left(-|B|^{n-1}\right.$.
设 $A B$ 都为 $n$ 阶方阵,则必有
$\text{A.}$ $A B=B A$;
$\text{B.}$ $|A B|=|A||B|$;
$\text{C.}$ $|A+B|=|A|+|B|$;
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$.
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=0$, 则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $R(A) < n$;
$\text{B.}$ $A$ 有一个行向量是其余 $n-1$ 个行向量的线性组合
$\text{C.}$ 有两行元素成比例;
$\text{D.}$ $A$ 的 $n$ 个列向量线性相关.
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}-1 & 0 & x & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right|$ 中 $x$ 的一次项系数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 4 阶行列式 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & 2\end{array}\right|$, 则 $2 A_{21}+4 A_{22}+2 A_{24}=$
行列式 $\left|\begin{array}{lll}1+a_1 b_1 & 1+a_1 b_2 & 1+a_1 b_3 \\ 1+a_2 b_1 & 1+a_2 b_2 & 1+a_2 b_3 \\ 1+a_3 b_1 & 1+a_3 b_2 & 1+a_3 b_3\end{array}\right|=$
设 $A B$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=2,|B|=3$, 则 $\left|2 A^* B^{-1}\right|=$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right)$ 则 $\left(A^*\right)^{-1}=$
$f(x)=\left|\begin{array}{ll}e^x & 2^x \\ 1 & 2\end{array}\right|$, 则 $f^{\prime}(0)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\left|\begin{array}{llll}a & b & 0 & 0 \\ b & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & b \\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ b & 0 & 0 & a\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{lllll}1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 5\end{array}\right|$
证明: $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a+b & a b & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & a+b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a+b & a b \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & a+b\end{array}\right|=\left\{\begin{array}{ll}\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}, & a \neq b \\ (n+1) a^n, & a=b\end{array}\right.$.
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵为 $A^*$, 证明 $R\left(A^*\right)=\left\{\begin{array}{l}n, R(A)=n \\ 1, R(A)=n-1 \\ 0, R(A) < n-1\end{array}\right.$.
证明：设 $n$ 阶矩阵满足关系式 $A^3+A^2-A-E=O$ 且 $|A-E| \neq 0$, 证明 $A$ 可逆, 且 $A^{-1}=-(A+2 E)$.