解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ 是互不相同的 $n$ 个数.
记 $|A(t)|=\left|\begin{array}{cccc}x_1+t & x_1{ }^2+t & \cdots & x_1{ }^n+t \\ x_2+t & x_2{ }^2+t & \cdots & x_2{ }^n+t \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n+t & x_n{ }^2+t & \cdots & x_n{ }^n+t\end{array}\right|$, 其中 $t$ 是参数，证明: $|A(t)|=|A(0)|+t \sum_{i, j=1}^n A_{i j}$. 其中 $A_{i j}$ 是 $x_{i j}$ 在 $|A(0)|$中的代数余子式.
设 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ 是互不相同的 $n$ 个数. 计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x_1+1 & x_1{ }^2+1 & \cdots & x_1{ }^n+1 \\ x_2+1 & x_2{ }^2+1 & \cdots & x_2{ }^n+1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n+1 & x_n{ }^2+1 & \cdots & x_n{ }^n+1\end{array}\right|$.
求矩阵 $H=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -b & & & \\ & 1 & -b & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -b \\ & & & & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵.
(1) 证明: 实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 的秩等于矩阵
$A$ 非零特征值的个数，其中 $A$ 为实对称矩阵，且
$$
X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T .
$$
(2) 化二次型 $\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ 为标准形，其中
$$
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} .
$$