单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_2 x_3$ 经正交变换化为标准形 $f=2 y_1^2+5 y_2^2+$ $b y_3^2$, 则
$\text{A.}$ $a=3, b=1$
$\text{B.}$ $a=3, b=-1$
$\text{C.}$ $a=-3, b=1$
$\text{D.}$ $a=-3, b=-1$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2-4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 的规范形是
$\text{A.}$ $z_1^2+z_2^2+z_3^2$
$\text{B.}$ $z_1^2-z_2^2-z_3^2$
$\text{C.}$ $z_1^2-z_2^2$
$\text{D.}$ $z_1^2$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ 的矩阵是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
若实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ 合同, 则二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数为 1 , 求常数 $a$ 的取值范围.
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
用配方法将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-3 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 化为规范形, 并写出变换矩阵.
利用正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$,把二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2+2 x_1 x_2$ 化为标准形.