在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $a=1, \cos C+c \cos A-2 b \cos B=0$.
(1) 求 $B$ :
(2) 若 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C D}$, 且 $B D=\sqrt{3}$, 求 $c$.

已知栯圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两焦点 $F_1(-1,0), F_2(1,0)$, 且椭圆 $C$ 过 $P\left(-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
(1) 求栯圆 $C$ 的标准方程;
(2) 设椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A, B$, 直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点 $(M, N$ 与 $A, B$ 均不重合), 记直线 $A M$ 的舒率为 $k_1$, 直线 $B N$ 的斜害为 $k_2$, 且 $k_1-2 k_2=0$, 设 $\triangle A M N$, $\triangle B M N$ 的面积分别为 $S_1, S_2$, 求 $\left|S_1-S_2\right|$ 的取值范围.

已知 $f(x)=a \mathrm{e}^{2 x}-2 x \mathrm{e}^x$ （其中 $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数）.
（1）当 $a=0$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 当 $a=\frac{1}{2}$ 时, 判断 $f(x)$ 是否存在极值, 并说明理由;
(3) $\forall x \in \mathbf{R}, f(x)+\frac{1}{a} \leq 0$, 求实数 $a$ 的取值范围