已知 $f(x)=a \mathrm{e}^{2 x}-2 x \mathrm{e}^x$ （其中 $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数）.
（1）当 $a=0$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 当 $a=\frac{1}{2}$ 时, 判断 $f(x)$ 是否存在极值, 并说明理由;
(3) $\forall x \in \mathbf{R}, f(x)+\frac{1}{a} \leq 0$, 求实数 $a$ 的取值范围